1、4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2+cos2=.(2)商数关系:sincos=2+k,kZ.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k+(kZ)+-2-2+正弦sin 余弦cos 正切tan 续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)(sin cos )2=12sin cos ;(2)sin =tan cos 2+k,kZ;(3)sin2=sin2sin2+cos2=tan2tan2+1;(4)cos2=cos2sin2+co
2、s2=1tan2+1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)对任意的角,有sin2+cos2=1.()(2)若R,则tan =sincos恒成立.()(3)sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角.()(4)若cos(n-)=13(nZ),则cos =13.()2.(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos-2=-255,32,则tan =()A.2B.32C.1D.123.(2020河北唐山模拟,理4)已知角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点A(2sin ,3)(sin 0),则cos =()A.12B.-12C.32D.-324.函数f(x
3、)=15sinx+3+cosx-6的最大值为()A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)若tan(-)=12,则sin2+1cos2-sin2=()A.-12B.-2C.12D.2(2)已知tan =2,则sin2+sin cos -2cos2等于()A.-43B.54C.-34D.45解题心得1.利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用tan=sincosk+2,kZ可以实现角的弦切互化.2.“1”的灵活代换:1=cos2+sin2=(sin+cos)2-2sincos=tan4.3.关于sin,cos的齐次式,往往化为
4、关于tan的式子.对点训练1(1)已知是第四象限角,sin =-1213,则tan 等于()A.-513B.513C.-125D.125(2)若3sin +cos =0,则1cos2+2sincos的值为()A.103B.53C.23D.-2考点利用sincos与sincos关系求值【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin -cos =2,(0,),则tan =()A.-1B.-22C.22D.1(2)已知为第二象限角,sin ,cos 是关于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(mR)的两根,则sin -cos =()A.1-32B.1+32C.3D.-3解题心得1.通过平方,
5、对称式sin+cos,sin-cos,sincos之间可建立联系,若令sin+cos=t,则sincos=t2-12,sin-cos=2-t2(注意根据的范围选取正、负号).2.利用上述关系,对于sin+cos,sin-cos,sincos这三个式子,可以知一求二.对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知-2,0,sin(-2)=-12,则sin -cos =()A.52B.-52C.62D.-62考点诱导公式的应用【例3】(1)已知sin(-)=log814,且-2,0,则tan(2-)的值为()A.-255B.255C.255D.52(2)已知是第四象限角,且sin+4=35,则ta
6、n-4=.解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有3-与6+,3+与6-,4+与4-等,常见的互补关系有6-与56+,3+与23-,4+与34-等.对点训练3(1)已知A=sin(k+)sin+cos(k+)cos(kZ),则A的值构成的集合是()A.1,-1,2,-2B.-1,1C.2,
7、-2D.1,-1,0,2,-2(2)sin 600+tan 240的值等于.(3)已知sin712+=23,则cos-1112=.考点同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例4】(1)(2020河北邯郸联考)已知3sin3314+=-5cos514+,则tan514+=()A.-53B.-35C.35D.53(2)已知为锐角,且2tan(-)-3cos2+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,则sin =()A.355B.377C.31010D.13解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角
8、函数值符号的影响.对点训练4(1)已知角tan =2,则sin2+sin(3-)cos(2+)-2cos2等于()A.-26B.26C.-23D.23(2)已知sin =255,则tan(+)+sin(52+)cos(52-)=.1.同角三角函数基本关系式可用于统一函数名;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值与化简必会的三种方法:(1)弦切互化法:主要利用公式tan=sincosk+2,kZ,形如asinx+bcosxcsinx+dcosx,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin2+
9、cos2=(sin+cos)2-2sincos=tan4等.(3)和积转换法:利用(sincos)2=12sincos,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2的关系进行变形、转化.3.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.1.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1.(1)1(2)tan 2.-sin -sin si
10、n cos cos -cos cos -cos sin -sin tan -tan -tan 考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.Acos-2=sin=-255,又,32,cos=-55,tan=2.故选A.3.A由三角函数定义得tan=32sin,即sincos=32sin,得3cos=2sin2=2(1-cos2),解得cos=12或cos=-2(舍去).故选A.4.A因为cosx-6=cos2-x+3=sinx+3,所以f(x)=15sinx+3+sinx+3=65sinx+3,故函数f(x)的最大值为65.故选A.关键能力学案突破例1(1)D(2)D(1)tan(-)=-tan(-
11、)=tan=12,sin2+1cos2-sin2=2sin2+cos2cos2-sin2=2tan2+11-tan2=2(12)2+11-(12)2=2.(2)sin2+sincos-2cos2=sin2+sincos-2cos2sin2+cos2=tan2+tan-2tan2+1,又tan=2,故原式=4+2-24+1=45.对点训练1(1)C(2)A(1)因为是第四象限角,sin=-1213,所以cos=1-sin2=513,故tan=sincos=-125.(2)由题知,3sin+cos=0,且cos0,故tan=-13,1cos2+2sincos=cos2+sin2cos2+2sinc
12、os=1+tan21+2tan=1+(-13)21-23=103.例2(1)A(2)B(1)由sin-cos=2,得1-2sincos=2,所以2sincos=-1,又(0,),所以cos0,cos0,因为(sin-cos)2=1-2sincos=1-m=1+32,所以sin-cos=1+32=2+32=4+234=1+32.故选B.对点训练2D因为sin(-2)=-12,所以sin2=-12,即2sincos=-12.所以(sin-cos)2=1-2sincos=1+12=32.又因为-2,0,所以sin0,为第一或第二象限角,tan(+)+sin(52+)cos(52-)=tan+cossin=sincos+cossin=1sincos.当是第一象限角时,cos=1-sin2=55,原式=1sincos=52;当是第二象限角时,cos=-1-sin2=-55,原式=1sincos=-52.综合知,原式=52或-52.
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