1、核心素养测评五十利用空间向量求线线角与线面角1.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,已知点H在正方形ABCD的对角线BD上,HDA=60.求DH与CC所成的角的大小.【解析】如图所示,以D为原点,DA为单位长度,建立空间直角坐标系D-xyz,则=(1,0,0),=(0,0,1).设=(m,m,1)(m0),由已知,=60,由=|cos,可得2m=,解得m=,所以=,1,因为cos=,又因为0180,所以=45,即DH与CC所成的角为45.2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,B1A1A=C1A1A=60,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.(1)在平面ABC内过
2、点A作AM平面PQB1,并且交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.(2)若侧面ACC1A1ABB1A1,求直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值.【解析】(1)如图,在平面ABB1A1内,过点A作ANB1P交BB1于点N,连接BQ,在BB1Q中,作NHB1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM为所求直线.(2)连接PC1,AC1,因为AA1=AC=A1C1=4,C1A1A=60,所以AC1A1为正三角形.因为P为AA1的中点,所以PC1AA1,又因为侧面ACC1A1侧面ABB1A1,且面ACC1A1面ABB1A1=AA1,PC1平面ACC1A1,所以PC1平面ABB1A1,在
3、平面ABB1A1内过点P作PRAA1交BB1于点R,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C(0,-4,2),C1(0,0,2).因为Q为AC的中点,所以点Q的坐标为,所以=(0,-2,2),=(0,-3,).因为A1B1=AB=2,B1A1A=60,所以B1(,1,0),所以=(,1,0),设平面PQB1的法向量为m=(x,y,z),由得,令x=1,得y=-,z=-3,所以平面PQB1的一个法向量为m=(1,-,-3).设直线A1C1与平面PQB1的夹角为,则sin =,即直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值为.
