1、8.8抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的,定直线l称为抛物线的.问题思考面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?2.抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O对称轴x轴焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向
2、左向上向下焦半径(其中P(x0,y0)|PF|=x0+p2|PF|=-x0+p2|PF|=y0+p2|PF|=-y0+p21.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2(为弦AB所在直线的倾斜角);(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(4)SAOB=p22sin(为弦AB所在直线的倾斜角);(5)CFD=90.2.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直
3、线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0.()2.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为()A.(0,-2)B.(0,2)C.0,-132D.0,1323.(2020江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0
4、上,则此抛物线的标准方程为.5.(2020新高考全国1,13)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用【例1】(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()A.22B.2C.322D.22(2)(多选)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可能为()A.(0,-4)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,4)(3)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y
5、2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线C的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3解题心得1.涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,则|PF|=x0+p2.若过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p.若遇到抛物线其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的
6、中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12(2)(2020河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x(2)如图,过抛物
7、线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M(x0,22)x0p2是抛物线C上的一点,
8、以点M为圆心的圆与直线x=p2交于E,G两点,若sinMFG=13,则抛物线C的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x(2)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.22D.324考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)已知圆C1:(x-3)2+(y-22)2=1和焦点为F的抛物线C2:y2=8x,N是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,当点M在M1时,|MF|+|MN|取得最小值,当点M在M2时,|MF|-|MN|取得最大值,则|M1M2|=()A.22B.32C.42D.17(2
9、)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”这一原理来解决问题.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点
10、(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.32D.4(2)设P为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,点B(3,2).求:|PB|+|PF|的最小值.点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为()A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ
11、|的最小值为()A.52B.3C.3+1D.23-1解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题时,要注意距离的转换,如将抛物线上的点到焦点的距离转换为抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F为抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则|AB|CD|=()A.16B.4C.83D.53(2)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛
12、物线C2的方程为()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=833yD.x2=1633y(3)(2021年1月8省适应性测试)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0考点直线与抛物线的关系【例5】(2019全国1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解题心得解决直线与抛物线位置关系问题的方
13、法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.对点训练5(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F,与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l与x轴不垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0
14、),则SAOB=()A.22B.3C.6D.36(2)设A,B为曲线C:y=x22上两点,点A,B的横坐标之和为2.求直线AB的斜率;设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.指点迷津(三)求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判
15、断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y0=g(x,y),将x0,y0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系x=f(t),y=g(t),消去参数即得所求轨迹方程.(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程【例1】已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定点P(1,1).(1
16、)求ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,2),AB的中点坐标为12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-2=-22x,AB的中垂线的方程为y-32=-x-12.由y-32=-x-12,y-2=-22x,得x=2,y=0,所以ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MNMP,得NMP
17、M=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为x-322+y-122=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点列式化简检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(
18、1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=
19、-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y
20、2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.
21、(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.设Cy122,y1,Dy222,y2,y10,y20,切线l1的斜率为k,则切线l1:y-y1=kx-y122,代入y2=2x,得ky2-2y+2y1-ky12=0,由=0,解得k=1y1,所以l1的方程为y=1y1x+y12,同理l2的方程为y=1y2x+y22.联立y=1y1x+y12,y=1y2x+y22,解得x=y1y22,y=y1+y22.易知CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足x02+y02=8,x02,22,由y2=2x,x0x+y0y=8,得x0y2+2y0y-16=0,则y1+y2=-2y0x0,y1y2=-16x0,代入x
22、=y1y22,y=y1+y22,可得M(x,y)满足x=-8x0,y=-y0x0,即x0=-8x,y0=8yx,代入x02+y02=8,化简得x28-y2=1,因为x02,22,所以x-4,-22.所以动点M的轨迹方程为x28-y2=1,x-4,-22.方法总结对点训练3如图,已知P是椭圆x24+y2=1上一点,PMx轴于点M.若PN=NM.(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A和点B是抛物线y2=4px(p0)上除原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB于点M,求点M的轨迹方程.解当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0
23、).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+2(kb-2p)x+b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(2p-kb)k2,x1x2=b2k2.所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pbk.由OAOB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.设点M(x,y),由OMAB,知yxk=-1,y0,则k=-xy.由及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y0).又点(4p,0)的坐标满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0
24、.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参求参消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.对点训练4在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中tR,则点C的轨迹方程是.五、交轨法求轨迹方程【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1MB1,NB2MB2.(1)求动点N的轨迹方程;(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,
25、3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,得y2-9=x02y02-9x2.又x0218+y029=1,所以y2-9=181-y029y02-9x2=-2x2,所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3
26、x,联立,解得x=y02-9x0,y=-y0.又x0218+y029=1,所以x=-x02,故x0=-2x,y0=-y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k0),则直线NB1:y=-1kx-3.直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.所以直线NB2:y=2kx+3.由得点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(2)由(1)(方法3)得直线NB1
27、:y=-1kx-3,直线NB2:y=2kx+3.联立,解得x=-6k2k2+1,即xN=-6k2k2+1,又xm=12k2k2+1,故四边形MB2NB1的面积S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=312|k|2k2+1+6|k|2k2+1=54|k|2k2+1=542|k|+1|k|2722,当且仅当|k|=22时,S取得最大值2722.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5如图,椭圆C0:x2a2+y2b2=1(ab0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=t12,bt1a.点A1,A2分
28、别为椭圆C0的左、右顶点.动圆C1与椭圆C0相交于A,B,C,D四点.(1)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2+y2=t22与椭圆C0相交于A,B,C,D四点,其中bt2a,t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等.证明:t12+t22为定值.高考大题专项(五)圆锥曲线的综合问题突破1圆锥曲线中的最大(小)值、范围问题题型一最大(小)值问题突破策略一建立目标函数求最大(小)值【例1】如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12x0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于
29、C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45时,求线段CD的长;(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.解题心得解决圆锥曲线中有关平面几何图形面积的最值问题,先通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最大(小)值问题,再利用均值不等式、函数的值域求解最大(小)值,注意均值不等式应用条件及等号成立的条件.对点训练2已知直线l1:ax-y+1=0,直线l2:x+5ay+5a=0,直线l1与l2的交点为M,点M的轨迹为曲线C.(1)当a变化时,求曲线C的方程;(2)已知点D(2,0),过点E(-2,0)的直线l与曲线C交于A,B两点,求ABD面积的最大值.题
30、型二范围问题突破策略一条件转化法【例3】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin +ycos -1=0相切(为常数).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆C交于M,N两点,求F1MF1N的取值范围.解题心得求某一量的取值范围,引入新的参数,根据已知条件,得出参数的取值范围,并用参数表示出所求量,进而求出所求量的取值范围.对点训练3已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E3,32.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(
31、点A位于x轴上方),若AF1=F1B,且20)的焦点为F,点M(a,25)在抛物线C上.(1)若|MF|=6,求抛物线的标准方程;(2)若直线x+y=t与抛物线C交于A,B两点,点N的坐标为(1,0),且满足NANB,原点O到直线AB的距离不小于2,求p的取值范围.解题心得解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
32、(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.对点训练4已知M为椭圆C:x225+y29=1上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为D,点P满足PD=53MD.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)若A,B两点分别为椭圆C的左、右顶点,F为椭圆C的左焦点,直线PB与椭圆C交于点Q,直线QF,PA的斜率分别为kQF,kPA,求kQFkPA的取值范围.突破2定点、定值问题题型一圆锥曲线中的定点问题突破策略一直接法【例1】已知动点P到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离少2.(1)求点P的轨迹E的方程.(2)过点F的两直线l1,l2分别与轨迹E交于A,
33、B两点和C,D两点,且满足ABCD=0,设M,N两点分别是线段AB,CD的中点,问直线MN是否恒过一定点?若经过,求定点的坐标;若不经过,请说明理由.解题心得直接推理法求解圆锥曲线中定点问题的实质及求解步骤解析几何中的定点问题的实质是:当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动.这类问题的求解一般可分为以下三步:对点训练1(2020湖北武汉模拟)过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若|AB|=8,求直线l的方程;(2)若点A关于x轴的对称点为D,证明直线BD过定点,并求出该点的坐标.突破策略二逆推法【例2】设O为坐标原点
34、,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(1)求点P的轨迹方程.(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F.解题心得由特殊到一般法求定点问题的方法:由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.对点训练2已知抛物线C的方程y2=2px(p0),焦点为F,点P在抛物线C上,且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1.(1)试求出抛物线C的方程.(2)若抛物线C上存在两动点M,N(M,N在对称轴两侧),满足OMON(O为坐标原点),过点F作直线交抛物线
35、C于A,B两点,若ABMN,则线段MN上是否存在定点E,使得|EM|EN|AB|=4恒成立?若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.题型二圆锥曲线中的定值问题突破策略一直接消参法【例3】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0),且经过点P12,354.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C相切,过点F作FQl,垂足为Q,求证:|OQ|为定值(其中O为坐标原点).解题心得直接法探求定值问题的实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中,探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题.其求解步骤一般为:对点训练3(
36、2020安徽合肥模拟)如图,已知点A,B的坐标分别为(-3,0),(3,0),直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为-23.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点P的轨迹为C,M,N是轨迹C上不同于点A,B的两点,且满足APOM,BPON,求证:MON的面积为定值.突破策略二特殊转化法【例4】已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的短轴的一个端点恰好是抛物线x2=83y的焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆C上的两点,A,B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值;当点A,B运动时,满足APQ=BPQ
37、,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.解题心得从特殊到一般求定值的常用处理技巧(1)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;(2)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.对点训练4已知离心率为32的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点2,22,A,B分别为椭圆C的右顶点和上顶点,点P在椭圆C上且不与四个顶点重合.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线PA与y轴交于点N,直线PB与x轴交于点M,试探究|AM|BN|是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.突破3证明、探索性问题题型一证明问题突破策略一直接法【例
38、1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,焦距为23.(1)求椭圆C的方程.(2)若斜率为-12的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),O为坐标原点.证明:直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.若点Q与点Q关于x轴对称,证明:tan POQ43.解题心得对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质,或均值不等式求得最值.本题易错点是忽略对于取等号时条件能否成立的验证.对点训练1在平面直角坐标系xOy中,点F的坐标为0,12,以线段MF为直径的圆与x轴相切.
39、(1)求点M的轨迹E的方程;(2)设T为轨迹E上横坐标为2的点,OT的平行线l交轨迹E于A,B两点,交轨迹E在点T处的切线于点N,求证:|NT|2=52|NA|NB|.突破策略二转化法【例2】(2018全国1,理19)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.解题心得几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素间的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线
40、中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.对点训练2设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求椭圆E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNAB.题型二圆锥曲线中的探索性问题突破策略一肯定顺推法【例3】已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过点F的动直线交抛物线C于A,B
41、两点,当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线C的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.对点训练3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,PF1F2内切圆的半径为b3,设过点
42、F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当lx轴时,|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)在x轴上是否存在一点T,使得当直线l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.突破策略二探究转化法【例4】(2019全国2,文20)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解题心得转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体,易求.
43、对于范围最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.对点训练4已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),A(2,0)是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,点C在第一象限,且ACBC=0,|OC-OB|=2|AB+BC|.(1)求椭圆的标准方程;(2)设P,Q为椭圆上不重合的两点且异于点A,B,若PCQ的平分线总是垂直于x轴,问是否存在实数,使得PQ=AB?若不存在,请说明理由;若存在,求取得最大值时,PQ的长.突破策略三利用假设法【例5】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆过点1,32.(1)求椭圆C的方程;
44、(2)若A,B为椭圆的左、右顶点,P(x0,y0)(y00)为椭圆上一动点,设直线AP,BP分别交直线l:x=6于点M,N,判断以线段MN为直径的圆是否恒过定点,若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.解题心得1.利用假设法一般地先假设定点存在,并设出定点坐标,再把其作为已知条件,求解定点坐标.2.探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于k,b的等量关系,再借助于直线系的思想找出定点.3.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.对点训练5已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)M,N为曲线C上的动点,且直线MN经过定点0,12,问在y轴上是否存在定点Q,使得MQO=NQO,若存在,请求出定点Q,若不存在,请说明理由.
