1、第七章空间向量与立体几何7.1基本立体图形、直观图、几何体的表面积和体积必备知识预案自诊知识梳理1.空间几何体如果只考虑一个物体占有的和,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.2.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x轴和y轴,使得它们正方向的夹角为.(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴的线段,且长度;平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y轴的线段,且长度为.(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.3.用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的
2、x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴).(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴,过与的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段,且长度.连接有关线段.(3)擦去有关辅助线,并把改成虚线(或擦除).4.空间中点与直线的位置关系点在直线上:如点A是直线l上的点,符号语言:.点不在直线上:如点A不是直线l上的点,符号语言:.(2)空间中点与平面的位置关系点在平面内:如A是平面内的点,符号语言:.点不在平面内:如A不是平面内的点,符号语言:.5.空间直线的位置关系共面直线:在同一平面内,有且只有
3、一个公共点.:在同一平面内,没有公共点.:一般地,空间中的两条直线,可以既不平行,也不相交,此时称这两条直线异面.6.空间中直线与平面的位置关系位置关系定义符号表示公共点直线l在平面内(或平面过直线l)直线l上的都在平面内有无数个公共点直线m在平面外直线m与平面平行直线m上点不在平面内没有公共点直线m与平面相交有且只有一个公共点7.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内任意一条过点A的直线m,都有lm,则称(或,),记作l.其中点A称为.(2)给定空间中一个平面及一个点A,过A可以作而且只可以作平面的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面内的(也称为),
4、线段AB为平面的,AB的长为.(3)当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这.8.平面与平面的位置关系(1)平面与平面相交如果平面与有公共点,这称为,记作.(2)平面与平面平行如果与是空间中的两个平面,则与=有且只有一种情况成立.而且,当时,与的公共点组成一条直线;当=时,称,记作.9.多面体定义一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为,围成多面体的各个多边形称为多面体的,相邻两个面的公共边称为多面体的,棱与棱的公共点称为多面体的面对角线、体对角线一个多面体中,连接同个一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱
5、,就称其为多面体的;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的续表截面一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个表面积多面体所有面的面积之和称为多面体的(或)10.棱柱定义多面体,有两个面互相,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体叫做底面、侧面、侧棱、高、侧面积棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的(底面水平放置时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的,两个侧面的公共边称为棱柱的,过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的.棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的直棱柱、斜棱柱、正棱柱如果
6、棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为(不是直棱柱的棱柱称为).特别地,底面是正多边形的直棱柱称为温馨提示常见的几种四棱柱之间的转化关系11.棱锥定义如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个多面体为底面、侧面、顶点、侧棱底面:是多边形的那个面称为棱锥的底面侧面:有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面顶点:各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点侧棱:相邻两侧面的公共边称为三棱锥、四棱锥、五棱锥棱锥可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥,可分别称为、高、侧面积过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱
7、锥的.棱锥所有侧面的面积之和称为棱柱的正棱锥、斜高如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则称这个棱锥为.可以看出,正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的12.棱台定义一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点上底面:原棱锥的截面下底面:原棱锥的底面侧面:其余各面侧棱:相邻两侧面的公共边顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点高、侧面积过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的,棱台所有侧面的面积之和称为棱台的三棱台、四棱台、五
8、棱台棱台可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱台,可分别称为、正棱台、高、斜高由正棱锥截得的棱台称为.正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的;而且,正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为棱台的13.旋转体圆柱圆锥圆台定义以所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体以所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆锥以所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆台图形底面两底面是平行且半径不相等的圆面母线相交于顶点平行于底面的截面与两底面平行且半径相等的圆面平行于底面且半径
9、不相等的圆面与两底面平行且半径不相等的圆面轴截面等腰梯形14.球(1)球的相关概念可以看成一个半圆绕着所在的直线旋转一周所形成的曲面;球面围成的几何体,称为.球也是一个旋转体.形成球面的半圆的圆心称为球的,连接球面上一点和球心的线段称为球的,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的.由球面的形成过程可看出,球面可以看成.球的截面是.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的,被不经过球心的平面截得的圆称为球的.(2)球的表面积如果球的半径为R,那么球的表面积为,即球的表面积等于它的大圆面积的倍.(3)球的体积如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为.15.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,这就是说,夹
10、在两个间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的平面所截,两个截面的面积,那么这两个几何体的体积一定相等.16.柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体的底面积为S,底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r和r.名称体积(V)柱体棱柱圆柱锥体棱锥13Sh圆锥13r2h台体棱台13(S2+S2S1+S1)h圆台13h(r2+rr+r2)1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=a2,外接球半径R=32a.3.设长方体的长
11、、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=a2+b2+c22.4.设正四面体的棱长为a,则它的高为63a,内切球半径r=612a,外接球半径R=64a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)若ab=,则a与b平行.()(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(4)若,则平面与平面相交,且交于一个点.()(5)长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离.()2.(2020天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.1443.(
12、多选)下列四个论断不正确的是()A.过圆锥两母线的截面面积中,最大的是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体,体积较大的是球体4.(2020河北衡水中学高三九调)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()A.12 cmB.13 cmC.61 cmD.15 cm5.(2020江苏镇江质检)已知一个圆锥的底面积为,侧面积为2,则该圆锥的体积为.关键能力学案突破考点空间几何体的结构特征【例1】(1)(多选)下列
13、结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点相连的线段都是圆锥的母线(2)给出下列几个命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(3)(2020全国1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面
14、积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14B.5-12C.5+14D.5+12解题心得辨别空间几何体的两种方法定义法紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素,根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可对点训练1(1)给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正
15、确命题的序号是.(2)(2019全国2,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.图1图2考点空间两直线位置关系的判定【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直
16、B.相交且垂直C.异面D.平行解题心得空间中两直线位置关系的判定方法对点训练2如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH所在直线在原正方体中互为异面直线的对数为.考点空间几何体的表面积【例3】(1)(2020河南周口模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,ABBC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30,则该三棱柱的侧面积为()A.4+42B.4+43C.12D.8+42(2)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,从围成斜截面的曲线上任意一点向底面圆所在平面作垂线,垂线段最短50 cm,最长80 cm,则斜
17、截圆柱的侧面面积为 cm2.解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积对点训练3(1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()A.4SB.2SC.SD.233S(2)如图,在梯形ABCD中,ABC=
18、2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体的表面积为()A.4B.(4+2)C.6D.(5+2)考点空间几何体的体积(多考向探究)考向1直接利用公式求体积【例4】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D-BB1C1的体积为.考向2割补法求体积【例5】(1)(2019全国3,理16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm
19、.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为.考向3等体积法求体积【例6】如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A.312B.34C.612D.64解题心得求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟
20、悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积对点训练4(1)(2020浙江镇海中学高三3月模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.3C.2D.1(2)如图,正四棱锥P-ABCD的底面边长为23 cm,侧面积为83 cm2,则它的体积为 cm3.(3)如图,已知体
21、积为V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一点,则四棱锥P-AA1C1C的体积为.考点与球有关的切、接问题(多考向探究)考向1几何体的外接球【例7】(2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()A.86B.46C.26D.6对点训练5(2020全国1,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆.若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B.48C.36D.32考向2几何体的内切球【
22、例8】(1)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.(2)(2020全国3,理15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.解题心得解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:对点训练6(1)已知正三棱锥的高为1,底面边长为23,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为.(2)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2a的正方形,PD底面ABCD,且PD=2a.若在这个四棱锥内放一球,则此球的最大半径为.【
23、例1】如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为()A.20009B.400027C.81D.128答案B解析如图,设小圆柱体底面半径为5cos,所以高为5+5sin,0,2,小圆柱体积V=(5cos)2(5+5sin),设sin=t,t(0,1),则V=125(-t3-t2+t+1),V=125(-3t+1)(t+1),易知当t0,13时,函数V=125(-t3-t2+t+1)单调递增,当t13,1时,函数V=125(-t3-t2+t+1)单调递减,所以当t=13时
24、,Vmax=400027.【例2】在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是()A.2327B.13C.239D.33答案A解析如图,取AB中点E,连接CE,DE,设AB=2x(0x1),则CE=DE=1-x2,当平面ABC平面ABD时,四面体体积最大,四面体的体积V=13122x1-x21-x2=13x-13x3,V=13-x2,当x0,33时,函数V=13x-13x3单调递增,当x33,1时,函数V=13x-13x3单调递减,则当x=33时,函数V=13x-13x3有最大值Vmax=1333-13333=2327.故选A.【例3】如图,圆形纸片的圆心为
25、O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案415 cm3解析如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知ODBC,OG=36BC.设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x,x0,52.因为SABC=1223x3x=33x2,所以三棱锥的体积V=13SABCh=3x225-10x=325x4-10x5,x0,52.令f(x)=25x4-10x5,x0,52,则f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)内单调递增,在2,52内单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V380=415,所以三棱锥体积的最大值为415.点评求几何体体积最大值的基本思路是根据题意设出一个几何量,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最大值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最大值.
