1、题目 第八章圆锥曲线抛物线高考要求 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质了解圆锥曲线的初步应用 知识点归纳 1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质:顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距:通径:过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段:。焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径
2、的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式:4抛物线的图像和性质:焦点坐标是:,准线方程是:。焦半径公式:若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:,焦点弦长公式:过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳:方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx
3、轴证明直线AC经过原点O分析:证直线AC经过原点O,即证O、A、C三点共线,为此只需证kOC=kOA本题也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一:设AB:x=my+,代入y2=2px,得y22pmyP2=0由韦达定理,得yAyB=p2,即yB=BCx轴,且C在准线x=上,C(,yB)则kOC=kOA故直线AC经过原点O证法二:如图,记准线l与x轴的交点为E,过A作ADl,垂足为D 则ADEFBC连结AC交EF于点N,则=,=|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,|EN|=|NF|,即N是EF的中点从而点N与点O重合,故直线AC经过原点O点评:本题的“几何味”特别浓,这就
4、为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到yAyB=p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识,这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例4 已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M(x0, y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N(1)求点N的坐标(用x0表示);(2)过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点,若|MN|=4,求MPQ的面积解:(1)设A(x1, y1)、B(x2、y2),由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x2=2x0得线段A
5、B垂直平分线方程:令y=0,得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0) (2)由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2 由抛物线的对称性,可设M在第一象限,所以M(2, 4), N(6,0)直线PQ: y=x6, 由得MPQ的面积是64例5 已知抛物线与直线相交于A、B 两点 ,求证; 当的面积等于时,求的值分析: 根与系数的关系、弦长公式 或应用向量解题 。证明: 设 ; ,由A,N,B共线 , 又 解 由得例6 已知抛物线C:点M是抛物线上任意一点,点F是抛物线上任意一点,点F是抛物线的焦点,(G为准线与x轴的交点)(1)求证:等腰三角形MNF底边上的高
6、所在直线MK是抛物线的切线;(2)求证:光线FM在点M的反射光线MB必平行x轴证明: (1)设则 又 由知,直线MK是抛物线在点M的切线 (2)令MA为法线,则 +, 为平角所以反射光线MB平行x轴 例7 如图,ABCD是一块边长为4km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不记),某集团公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积解: 以M为原点BA所在直线为y轴,如图建系 设抛物线方程为,由点D(4, 2)在抛物线上, 故物线方程为 设是曲线MD上任意一点 则, 矩形游乐园面积 , 令得
7、 当 时; 当时, 时,S有极大值, 此时, 又时, 所以当游乐园长PN=, 宽PQ=时,其面积最大为例8 A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,满足OAOB(O为坐标原点)求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M,求点M的轨迹方程解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线AB的斜率k=, 直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y
8、1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直线AB过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x0)解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例9 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A,B,M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M
9、/, MM/与y轴的交点为N,则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)小结:1求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法2凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算3解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广
10、泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质4圆锥曲线统一定义:平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当0e1时,表示椭圆;当e=1时,表示抛物线;当e1时,表示双曲线5由于抛物线的离心率e=1,所以与椭圆及双曲线相比,它有许多特殊的性质,而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的6抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离,等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益7求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线标准方程8在解题中,抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系,所以要注意相互转化学生练习 1 抛物线的
11、焦点坐标为( )A B C D 答案: A 解析: 从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 ( ) A B C D 答案: C 解析: 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3 过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 ( )A 10 B 8 C 6 D 4答案: B解析: 4 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则其方程为 ( )A 或 B 或 C 或 D 不确定答案: C解析: 解直线与两轴交点坐标,进而求5 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )A 1条 B 2条 C 3条 D 无数条
12、答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 ()A B C D 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题7 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ( )A B C D答案: D解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短 8 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( )A 4 B 2 C D 答案: A解析: 所截线段长恰为通径9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF
13、与FQ的长分别为p、q,则等于 ( )A B C D 答案: C解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,10 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 ( )A B C D 不确定 答案: C解析: 向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出11 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时,则点Q的横坐标的取值范围是 ( )A B C -3, -1 D 答案: D12 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A B C D 答案: C 解析:
14、 因为A、F、B三点共线所以13在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为A B1 C2 D4答案:C解析:抛物线的准线方程为x=,由抛物线的定义知4+=5,解得P=214设a0,aR,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A(a,0) B(0,a) C(0,) D随a符号而定答案:C 解析:化为标准方程15以抛物线y22px(p0)的焦半径PF为直径的圆与y轴位置关系为A相交 B相离 C相切 D不确定答案:C 解析:利用抛物线的定义16以椭圆 +=1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则|AB|的值为_解:中心为(0,0),左准线为x=,所
15、求抛物线方程为y2= x又椭圆右准线方程为x=,联立解得A(,)、B(,)|AB|=答案:17对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_(要求填写合适条件的序号)解析:由抛物线方程y2=10x可知满足条件答案:18 抛物线的焦点弦AB,求的值解:由 得 19设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点 B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设, 由得 又代入式得 由得 代入式得:由得或, 又由式知关于是减函数且, 且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): (且) 16 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程; 求面积的最大值解: 设, AB中点 由得 又 得所以 依题意, 抛物线方程为 由及, 令得 又由和得: 课前后备注