1、6.2等差数列必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列的概念一般地,如果数列an从第项起,每一项与它的前一项之差都等于,即恒成立,则称an为等差数列,其中d称为等差数列的.2.等差数列的通项公式及其推广若等差数列an的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=.该式可推广为an=am+(n-m)d(其中n,mN+).3.等差数列通项公式与函数的关系an=a1+(n-1)d可化为an=nd+a1-d的形式.如果记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列an是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);(2)当公差d0时,f(x)是一次函数,而
2、且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d0时,an是递增数列;当d0,S10=S20,则()A.d0B.a160C.SnS15D.当且仅当n32时,Sn04.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则S10S5=.5.(2019北京,理10)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.关键能力学案突破考点等差数列中基本量的运算【例1】(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6(2)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则
3、a7=()A.12B.13C.14D.15(3)(2020全国2,文14)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.对点训练1(1)设等差数列an的前n项和为Sn
4、,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=()A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.考点等差数列的判定与证明【例2】若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn成等差数列;(2)求数列an的通项公式.变式发散(1)本例条件不变,判断数列an是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n2),a1=12”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n2),a1=2”,问题不变,试求解.解题心得1.
5、证明数列是等差数列的主要方法(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n3,nN*)成立.2.判定数列是等差数列常用到的结论(1)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(2)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.对点训练2(2017全国1,文17)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考点等差数列的性质及应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质及应用【例3】(1)在等差数列a
6、n中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an的前9项的和S9等于()A.66B.99C.144D.297(2)(多选)在等差数列an中,ana2n是一个与n无关的常数,则该常数所有可能值为()A.0B.1C.12D.-1解题心得如果an为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am,可由am=12(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am-n+am+n的值.对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列an中,若
7、a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.4考向2等差数列前n项和的性质【例4】(1)在等差数列an中,a1=-2 019,其前n项和为Sn,若S1212-S1010=2,则S2 019的值等于()A.-2 018B.-2 016C.-2 019D.-2 017(2)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn=3n-22n+1,则a7b7等于()A.3727B.3828C.3929D.4030(3)在等差数列an中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.解题心得在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出
8、结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.对点训练4(1)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn=3n2n+1,则a1+a2+a14+a19b1+b3+b17+b19的值为()A.2719B.1813C.107D.1713(2)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.考向3等差数列前n项和的最值【例5】(1)设Sn为等差数列an的前n项和,若a4|a4|,则使Sn0成立的最小正整数n为()A.6B.7
9、C.8D.9(2)在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)邻项变号:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当a10,d0时,满足am0,am+10的项数m使得Sn取得最大值为Sm;当a10时,满足am0,am+10的项数m使得Sn取得最小值为Sm.利用相关性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列an的前n项和为Sn,S6S8,则()A.在数列an中,a1最大B.在数列an中,a3或a4最大C.S3=S10D.当n8时,an0(2)在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和Sn的最大值为()A.S15B.S16C.S15或S16D.S17
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