1、1.4二次函数与一元二次方程、不等式必备知识预案自诊知识梳理1.二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0),其中(h,k)为顶点坐标;零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),其中x1,x2为二次函数的零点.2.二次函数的图像和性质函数y=ax2+bx+c(a0)a0a0a0时,方程有两个不相等的实数根;当=0时,方程有两个相等的实数根;当0);因式分解法:将ax2+bx+c=0(a0)分解成a(mx+d)(nx+e)=0的形式,得方程的两个解分别为x1=-dm,x2=-en.4.一元二次不等式(1)定义:ax2
2、+bx+c0(或0(或0=00)的图像ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x10(a0)的解集xx-b2aRax2+bx+c0)的解集1.设f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像的对称轴为x=m,当a0时,若|x1-m|x2-m|,f(x1)f(x2);当a|x2-m|,f(x1)0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.4.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)二次函数y=ax2+bx+c(xR),当
3、x=-b2a时,y取得最小值为4ac-b24a.()(2)一元二次函数y=ax2+bx+c(xR)的函数值恒为负的充要条件是a0,b2-4ac0.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c0.()(4)不等式x-2x+10的解集是-1,2.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R.()2.(2020山东菏泽一模,2)若集合A=x|y=1-x,B=x|x2-x-20,则AB=()A.-1,1B.-1,2C.1,2D.(-1,13.(2020山东烟台一模,3)设xR,则“|x-2|0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.
4、充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=x2+ax+6在52,+上单调递增,则a的取值范围为()A.a-5B.a5C.a-5D.a55.已知函数f(x)=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数m的取值范围是.关键能力学案突破考点求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.变式发散2将本例
5、中条件变为:二次函数f(x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且xR,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.考点二次函数的图像与性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性及应用【例2】(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间-1,+)上是单调递减的,则实数a的取值范围是()A.-3,0)B.(-,-3C.-2,0D.-3,0解题心得二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论.对点训练1(1)已知函数
6、f(x)=lnx,x1,-x2+ax-a2+1,xf(cx)D.与x有关,不确定考向2二次函数的最值问题【例3】(1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),xR,则函数f(x)的最小值是.(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在1,2上有最大值4,则a的值为.解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.对点训练2(1)已知y=f(
7、x)是偶函数,当x0时,f(x)=(x-1)2,若当x-2,-12时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为()A.13B.12C.34D.1(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间0,2上的最大值为1,那么实数a=.考向3与二次函数有关的恒成立问题【例4】设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是.考向4二次函数中的双变量问题【例5】已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x
8、0c,d,使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在a,b上的值域是f(x0)在c,d上的值域的子集.对点训练4(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1(0,+),存在x2(-,-1,使f(x1)g(x2),则实数a的最大值为()A.6B.4C.3D.2考点二次函数、方程、不等式的关系(多考向探究)考向1一元二次方程与一元二次不等式【例6】关于x的不等式x2+px-20(a0),f(x)0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对点训练5(1
9、)已知不等式ax2+bx+20的解集为x|-1x2,则不等式2x2+bx+a0的解集为()A.x-1x12B.xx12C.x|-2x1D.x|x1(2)若关于x的不等式x2-ax+10的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为()A.2,52B.2,52C.2,52D.2,52(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,则实数a的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.-2,65D.-2,652【例1】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)两个正根;(2)有两个负根;(3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3)都是判断两根
10、的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?解(1)=(m-3)2-4m0,x1+x2=3-m0,x1x2=m0,解得m|0m1;(2)=(m-3)2-4m0,3-m0,解得m|m9;(3)0,m0,解得m|m0.【例2】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?解令f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-
11、3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-20,解得m0,f(0)=m0,解得-45m0,故m的取值范围为-45,0.(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则f(2)=3m-20,f(4)=5m+40,2-m-324,解得-5m0,f(0)=m0,0-m-322,=(m-3)2-4m0,解得230)满足下列条件,请画出方程对应函数的图像,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n)内,另一根在(p,q)内;(2)两个根都在(m,n)内.解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),满足题意的图像如图,则f(m)f(n)0,f(p)f(q)0.(2)0,m-b2a0,f(n)0.归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a0)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内大致图像(a0)得出的结论0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0,f(n)0,f(p)0,或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0大致图像(a0)得出的结论0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0f(m)0,f(p)0,f(q)0,或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0
