1、第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.1集合必备知识预案自诊知识梳理1.集合的含义与表示(1)集合元素的三个特征:、.(2)元素与集合的关系有或两种,用符号或表示.(3)集合的表示方法:、.(4)常见数集的记法.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示维恩图子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集真子集如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集集合相等给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等3.集合的基本运算运算文字语言符号语言图形语言记法交集给定两个
2、集合A,B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合x|xA,且xB并集给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合x|xA,或xB补集如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于集合A的所有元素组成的集合x|xU,且xA4.集合的运算性质(1)并集的性质:A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA.(2)交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=A.(3)补集的性质:A(UA)=;A(UA)=;U(UA)=;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB).1.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.2.A
3、B,BCAC;AB,BCAC.3.ABAB=AAB=B(UB)(UA)A(UB)=.4.card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)集合x2+x,0中的实数x可取任意值.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)对任意集合A,B,一定有ABAB.()(4)若AB=AC,则B=C.()(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是1,4.()2.(2020全国3,文1)已知集合A=1,2,3,5,7,11,B=x|3xx,则UA=()A.0,1B.(0,1)
4、C.(-,1D.(-,1)4.(2020山东潍坊二模,1)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则A(UB)=()A.1,4B.1,4,5C.4,5D.6,75.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A=x|x2-2x0,B=x|x0,则集合A的真子集个数为()A.3B.4C.7D.8(2)(2020山东潍坊临朐二模,13)已知集合A=a,b,2,B=2,b2,2a,且AB=AB,则a=.解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据
5、限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.对点训练1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A=-1,0,1,2,B=y|y=2x,M=AB,则集合M的子集个数是()A.2B.3C.4D.8(2)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为.考点集合间的基本关系【例2】(1)(2020浙江镇海中学摸底,1)设集合A=y|y=x2-1,B=x|y=x2-1,则下列结论正确的是()A.A=BB.ABC.BAD.AB=x|x1(2)(2020河北石家庄二中模拟,理2)设集合P=x|x|3,Q=x|x24,则下列结论正确的是()A.QPB.PQC.P
6、=QD.PQ=R解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用维恩图求解.对点训练2(1)已知集合A=xx-2x0,xN,B=x|x2,xZ,则满足条件AC,且CB的集合C的个数为()A.1B.2C.4D.8(2)集合M=xx=n2+1,nZ,N=yy=m+12,mZ,则两集合M,N的关系为()A.MN=B.M
7、=NC.MND.NM考点集合的运算(多考向探究)考向1利用集合运算的定义进行运算【例3】(1)(2020新高考全国1,1)设集合A=x|1x3,B=x|2x4,则AB=()A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x|1x0,B=x|x2-40,则AB=()A.-2,0B.(-,0)C.-2,0)D.-4,4(2)(2021年1月8省适应性测试)已知M,N均为R的子集,且RMN,则M(RN)=()A.B.MC.ND.R(3)(2020山东潍坊一模,1)设集合A=2,4,B=xN|x-30,则AB=()A.1,2,3,4B.0,1,2,3,4C.2D.x|x4考向2定义新集合运算法则进行集合
8、运算【例4】(多选)(2020福建双十中学期中,1)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B=x|xA,且xB,若集合A=y|y=(x-1)2+1,0x3,B=y|y=x2+1,1x3,则以下说法正确的是()A.A=-1,5B.B=2,10C.A-B=1,2)D.B-A=(5,10解题心得求解集合新定义运算的关键是仔细分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.对点训练4定义A*B=x|x=x1+2x2,x1A,x2B,若A=1,2,3,B=1,2,则A*B=;(A(A*B)B=.考点求集合中参数的值或取值范围【例5】(1)(2020全国1
9、,理2)设集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,则a=()A.-4B.-2C.2D.4(2)已知集合A=x|x2-3x+20,B=x|x+1a,若AB=R,则实数a的取值范围是()A.2,+)B.(-,2C.1,+)D.(-,1解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用维恩图表示,根据维恩图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的取舍.对点训练5(1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A=x|ax=x2,B=0,1,2
10、,若AB,则实数a的值为()A.1或2B.0或1C.0或2D.0或1或2(2)已知集合A=x|x7,B=x|x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是.变式发散1将本题(2)中的B改为B=x|m+1x2m-1,其余条件不变,该如何求解?变式发散2将本题(2)中的A改为A=x|-3x7,B改为B=x|m+1x2m-1,其余条件不变,又该如何求解?由于图形简明、直观,因此很多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中维恩图的三层次:识图用图构图.阶梯一识图:用集合的交、并、补运算表示给出的维恩图【例1】(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M=x|-3x1,N=x|x|1,则阴
11、影部分表示的集合是()A.-1,1B.(-3,1C.(-,-3)(-1,+)D.(-3,-1)答案D解析由图可知,阴影部分表示的集合为M(UN).由U=R,N=x|x|1,可得UN=x|x1,又M=x|-3x1,所以M(UN)=x|-3x-1.故选D.对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(MP)SB.(MP)SC.(MP)(IS)D.(MP)(IS)阶梯二用图:借助维恩图求集合或集合的交、并、补【例2】设全集U=x|0x10,xN*,若AB=3,A(UB)=1,5,7,(UA)(UB)=9,则A=,B=.答案1,3,5,72,3,4,6,8解析由
12、题知U=1,2,3,9,根据题意,画出维恩图如下,由维恩图易得A=1,3,5,7,B=2,3,4,6,8.对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM)=,则MN=.阶梯三构图:构造维恩图解某些应用题【例3】(2020新高考全国1,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案C解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练3向100名学生调查对A,B两件事的看法,得到如下结果:赞成A的人数是全体的35,其余不赞成;赞成B的人数比赞成A的人数多3人,其余不赞成.另外,对A,B都不赞成的人数比对A,B都赞成的学生人数的13多1人,对A,B都赞成的学生人数为人,对A,B都不赞成的学生人数为人.
