1、课时作业(五十)一、选择题1已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：mP，nQ，mnPQmP，nQ，mnPQmP，nP，mnPQmP，nQ，mnPQ其中的假命题有()A1个B2个C3个 D4个答案C解析为假命题，m不一定与平面Q垂直，所以平面P与Q不一定垂直命题与为假命题，中两平面可以相交，没有任何实质意义只有是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补2命题p：若平面，平面，则必有；命题q：若平面上不共线的三点到平面的距离相等，则必有.对以上两个命题，下列结论中正确的是()A命题“p且q”为真 B命题“p或q”为假C命题“p且q”为真 D命题“綈p或非q”为假答案
2、B解析据题意可知对于命题p，显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一张纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面内的两点连线与平面平行，使第三点与这两点的连线与平面的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的3如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形
3、折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面DAGEFH所在平面答案A解析ADDF，ABBEB、C、D重合记为HAHHF，AHHEAH面EFH.4设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，n，则n；若m，则m；若m，则m或m；若mn，m，n，则.则其中正确命题的序号为_答案解析正确中，可能有m，故不正确5若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中的假命题为()A过点P垂直于平面的直线平行于平面B过点P在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面C过点P垂直于平面的直线
4、在平面内D过点P垂直于直线l的直线在平面内答案D解析根据面面垂直的性质定理，得选项B、C正确对于A，由于过点P垂直于平面的直线必平行于内垂直于交线的直线，因此平行于平面.因此A正确6如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析BD1平面AB1C.7如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线CA上DABC内部答案A解析CAAB，CA
5、BC1，ABBC1B，CA平面ABC1.平面ABC平面ABC1.过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内，HAB.二、解答题8(09江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；(2)若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；(3)设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案(1)(2)解析(1)内两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，正确(2)平面外一条直线l与内的一条直线平行，则l平
6、行于，正确(3)如图，l，a，al，但不一定有，错误(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题综上所述，真命题的序号为(1)(2)9如图所示，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正确三、解答题10四面体A
7、BCD中，ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，且EFAC，BDC90.求证：BD平面ACD.证明如图所示，取CD的中点G，连结EG、FG、EF.E、F分别为AD、BC的中点，EG綊AC，FG綊BD.又ACBD，FGAC.在EFG中，EG2FG2AC2EF2.EGFG.BDAC.又BDC90，即BDCD，ACCDC，BD平面ACD.11如右图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点()求证：EFCD；()在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解析()证法一：AEEB，PFFB，EFAP.ABCD为正方形，ADDC
8、，又PD底面ABCD，PACD(三垂线定理)，EFCD.证法二：取BD的中点O，连结FO、OE.AEEB，OEAD.又ADCDOECD.FPFB，OFPD.PD底面ABCD，FO底面ABCD，EFCD(三垂线定理)()答：G是AD的中点方法一：取PC的中点H，连结DH.PDDC，DHPC.又BC平面PDC，BCDH，DH平面PCB.取DA中点G，连结GF、FH.HF綊BC綊DG，四边形DGFH为平行四边形，DHGF，GF平面PCB.方法二：取AD中点G，连结PG、GB、GF.PGDBGA，PGGB.又F为PB中点，GFPB.连结GO，FO底面ABCD，OGAD，FGAD，FGBC，FG平面PB
9、C.12(2010东城区)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACDC，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明CDAE：(2)证明PD平面ABE；(3)求二面角APDC的大小答案(1)证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)证明：由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD.又A
10、BAEA，综上得PD平面ABE.(3)解法一：过点A作AMPD，垂足为M，连结EM，由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，得CAD30，设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的大小是arcsin.解法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线为AD.过点C作CFAD，垂足为F，故CF平面PAD，过点F作FMPD，垂足为M，连结CM，故CMPD，因此CMF是二面角APDC的平面角由已
11、知，可得CAD30，设ACa，可得PAa，ADa，PDa，CFa，FDa.FMDPAD，.于是，FMa.在RtCMF中，tanCMF.所以二面角APDC的大小是arctan.13(2011湖北八校)如图，已知AB平面ACD，DEAB，ACD是正三角形，ADDE2AB，且F是CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.证明(1)取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FPDE，且FPDE.又ABDE，且ABDE，ABFP，且ABFP，ABPF为平行四边形，AFBP.又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为正三角形，AFCD.AB平面ACD
12、，DEAB，DE平面ACD.又AF平面ACD，DEAF.又AFCD，CDDED，AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE.又BP平面BCE，平面BCE平面CDE.14(2010北京卷，文)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.解析(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连结FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边
13、形ABCD为正方形，所以BDAC，又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.15(2011海淀区)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)PA底面ABCD，CDPA，又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，AE平面PAC，故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故PAAC.E是PC的中点，故AEPC.由(1)知CDAE，从而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.