1、三 圆的切线的性质及判定定理1.切线的性质定理及其推论(1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.名师点拨1.圆的切线的性质定理及其两个推论可以用一个定理叙述出来,即如果一条直线满足以下三个条件中的任意两个,那么就一定满足第三个.它们是:垂直于切线;过切点;过圆心.2.利用圆的切线的性质定理及其两个推论,可以解决两条直线的垂直、直线经过点、点在直线上等证明问题.【做一做1】如图,已知直线PM与PN均与圆O相切,则四边形PMON一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.圆内接四边形解析:因
2、为直线PM与PN均与圆O相切,所以PMO=PNO=90,因此PMO+PNO=180,故四边形PMON一定是圆内接四边形.答案:D2.切线的判定定理判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.名师点拨圆的切线的判定方法【做一做2】如图,A是O上的一点,P是O外一点,且OA=3,AP=4,OP=5,则直线PA与O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析:在OAP中,OA2+AP2=32+42=52=OP2,则OAAP,故PA与O相切.答案:B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)垂直于半径的直线是圆的切线.()(2)切线和圆心的
3、距离等于圆的半径.()(3)圆的切线与圆只有一个公共点.()(4)经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三当堂检测圆的切线的判定【例1】如图,在ABC中,已知AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,DEAC于点E.求证:DE是O的切线.分析:利用圆的切线的判定定理进行切线的证明,关键是找出定理的两个条件:(1)过半径的外端;(2)该直线与半径所在的直线垂直.探究一探究二探究三当堂检测证明:如图,连接OD和AD.AB是O的直径,ADBC.AB=AC,BD=CD.又AO=OB,OD是ABC的中位线,ODAC.DEAC,DEOD,故DE是
4、O的切线.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟判断或证明一条直线是圆的切线时,辅助线的常见作法1.如果已知这条直线与圆有公共点,那么连接圆心与这个公共点,设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;2.若题目未说明这条直线与圆有公共点,则过圆心作这条直线的垂线,得垂线段,再证明这条垂线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径”.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,O与腰AB相切于点D.求证:AC与O相切.证明:连接OD,过点O作OEAC,垂足为E.O与AB相切于点D,ODAB,且OD等于圆的半径.ABC为等腰三角形,O是底边BC的
5、中点,B=C,OB=OC.又ODB=OEC=90,ODBOEC.OE=OD,即OE是O的半径,即圆心O到直线AC的距离等于半径.故AC与O相切.探究一探究二探究三当堂检测圆的切线的性质【例2】如图,AB为O的直径,BC,CD为O的切线,B,D为切点.(1)求证:ADOC;(2)若O的半径为1,求ADOC的值.分析:(1)要证ADOC,因为AB是O的直径,所以BDAD.故可转化为证明BDOC;(2)由ADOC可以联想到ABDOCB,利用等积式转化线段间的关系.探究一探究二探究三当堂检测(1)证明:如图,连接OD,BD.BC,CD是O的切线,OBBC,ODCD.OBC=ODC=90.又OB=OD,
6、OC=OC,RtOBCRtODC.BC=CD.又OB=OD,OCBD.AB为O的直径,ADB=90,即ADBD.ADOC.(2)解:ADOC,A=BOC.又ADB=OBC=90,ADOC=ABOB=21=2.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用圆的切线的性质来证明或进行有关计算时,连接圆心和切点的半径,从而构造垂直关系,是辅助线的常见作法.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知PAB是O的割线,AB为O的直径,PC为O的切线,点C为切点,BDPC交PC延长线于点D,交O于点E,PA=AO=OB=1.(1)求P的度数;(2)求DE的长.探究一探究二探究三当堂检测解:(1)如图,连接OC,点C
7、为切点,探究一探究二探究三当堂检测圆的切线的判定与性质的综合应用【例3】如图,已知AP是O的切线,P为切点,AC是O的割线,与O交于B,C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点.(1)证明A,P,O,M四点共圆;(2)求OAM+APM的大小.分析:(1)由圆内接四边形的判定定理证明其对角互补即可;(2)由圆周角定理及其推论以及圆的切线的性质进行证明.探究一探究二探究三当堂检测(1)证明:连接OP,OM,因为AP与O相切于点P,所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点,所以OMBC.于是OPA+OMA=180.由圆心O在PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.
8、(2)解:由(1)知,A,P,O,M四点共圆,所以OAM=OPM.由(1)知OPAP,而圆心O在PAC的内部,可知OPM+APM=90,所以OAM+APM=90.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟圆内接四边形的性质定理和判定定理经常交替使用,通过定理的应用,寻求角之间的关系,从而证明问题.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3如图,已知AB是O的直径,DE切O于C,并且ADDE于D,BEDE于E.求证:(1)CD=CE;(2)以C为圆心,CD为半径的C和AB相切.探究一探究二探究三当堂检测证明:(1)如图,连接OC,DE切O于C,OCDE.又ADDE,BEDE,ADOCBE.O为AB的中点,CD
9、=CE.(2)如图,过C点作CFAB于F,过A点作AGOC于G,ADDE,OCDE,AGOC,四边形AGCD为矩形,AG=CD.OA=OC,OGA=OFC=90,AOG=COF,AOGCOF,AG=CF.CF=CD,即CF为C的半径.又CFAB于F,故C与AB相切于点F.探究一探究二探究三当堂检测1.已知AB是O的切线,在下列给出的条件中,能判定ABCD的是()A.AB与O相切于直线CD上的点CB.CD经过圆心OC.CD是直线D.AB与O相切于C,CD过圆心O解析:由图可知,根据选项A,B,C中的条件都不能判定ABCD;因为圆的切线垂直于经过切点的半径,所以选项D正确(如图).答案:D探究一探
10、究二探究三当堂检测2.如图,PB与O相切于点B,PO交O于点A,BCOP于C.若OA=3 cm,OP=4 cm,则AC等于()解析:连接OB,PB是切线,OBPB.BCOP,答案:C 探究一探究二探究三当堂检测3.如图,直线AB与O相切于点P,CD是O的直径,C,D与AB的距离分别为4 cm,2 cm,则O的半径为.解析:利用圆的切线及梯形中位线的知识可知O的半径为OP=(AC+BD)=3 cm.答案:3 cm探究一探究二探究三当堂检测4.如图,DB,DC是O的两条切线,A是圆上一点.已知D=46,则A=.解析:如图,连接OB,OC,则OBBD,OCCD,故DBO+DCO=90+90=180,则四边形OBDC内接于一个圆.则BOC=180-D=180-46=134,所以A=BOC=134=67.答案:67探究一探究二探究三当堂检测5.如图,在梯形ABCD中,ADBC,C=90,且AD+BC=AB,AB为O的直径.求证:O与CD相切.证明:过点O作OECD,垂足为E.因为ADBC,C=90,所以ADOEBC.因为O为AB的中点,所以E为CD的中点.所以OE=(AD+BC).又因为AD+BC=AB,所以OE=AB,等于O的半径.所以O与CD相切.