1、73.3余弦函数的性质与图像课程目标 1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间和最值2会用“五点法”、“图像变换法”作余弦函数和yAcos(x)的图像填一填1余弦函数的性质2.余弦函数的图像把正弦函数ysinx的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数ycosx的图像，该图像叫做余弦曲线答一答1怎样得到余弦函数的图像？提示：(1)描点法：按照列表，描点，连线的顺序作图(2)平移法：由ycosxsin，xR知，余弦函数ycosx的图像与正弦函数ysin的图像相同，于是只要把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图像(3)五点法：观察余弦函数的图像可以看出，下面五个点在确定余弦函数图像形
2、状时起着关键的作用，(0,1)，(，1)，(2，1)这五点描出后，余弦函数ycosx(x0,2)的图像形状就基本确定了，然后再把这一段的图像向左向右延伸，即得ycosx在R上的图像2怎样求含有三角函数式的函数值域？提示：到目前为止，运用所学知识可以求解的类型主要有：(1)yAsin(x)型，值域为A，A(A0)(2)y或y型，解决这类问题的常用方法：反解sinx(或cosx)，得到sinxf(y)(或cosxf(y)，再利用|sinx|1(或|cosx|1)，列出|f(y)|1，解出y的范围，即为所求函数的值域(3)y型，一般用数形结合法求解(4)yasin2xbsinxc(或yacos2xb
3、cosxc)型，可以通过配方法转化为二次函数在区间sinx1,1上的最值求解(5)ysinx(a0)型，转化为利用函数yx(p0)型函数值域(最值)，即利用函数的单调性类型一余弦函数的定义域和值域例1(1)求f(x)的定义域(2)求下列函数的值域y2cosx1；y；ycos2x3cosx2.解(1)由2cosx10知cosx，作出ycosx在x，的图像知2kx2k，kZ，定义域为.(2)1cosx1，22cosx2，32cosx11.函数y2cosx1的值域为3,1由y可得(12y)cosxy，cosx，|cosx|1，cos2x1，1，即3y24y10，y或y1.函数y的值域为1，)令tco
4、sx，xR，t1,1原函数可化为yt23t22，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t，t1,1为二次函数的单调递减区间t1时，ymax6；t1时，ymin0.函数ycos2x3cosx2的值域为0,6(1)求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图像.(2)与余弦函数有关的值域的求法.直接法.利用ycosx的有界性或已知x的范围求ycosx的值域.反解法.也是利用有界性，但是要把函数反解成cosxg(y)的形式，再用1g(y)1，解得y的范围.换元法.令tcosx，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等.变式训练1求下列函数的最大值和最小
5、值：(1)y；(2)y2cos，x.解：(1)方法一：y2，1cosx1，5，32，ymax，ymin3.方法二：由y，解得cosx.1cosx1，11，解得3y.ymax，ymin3.(2)x，02x，12cos2，当cos1，即x时，ymax2，当cos，即x时，ymin1.类型二余弦函数的性质命题视角1：余弦函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin(cosx)；(2)f(x).分析先写出函数定义域，若定义域关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系，若定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数解(1)定义域为R，f(x)sin(cos(x)sin(cosx)f(x)，f(x)
6、为偶函数(2)coscossinx.f(x).1sinx0，sinx1，x2k(kZ)定义域为.不关于原点对称，原函数为非奇非偶函数1.复合函数yf(g(x)的奇偶性.yf(t)与tg(x)只要有一个为偶函数，则yf(g(x)为偶函数.yf(t)与tg(x)二者均为奇函数，则yf(g(x)为奇函数.2.判断函数奇偶性时，应先确定定义域的对称性，然后化简，最后判断.变式训练2判断下列函数的奇偶性(1)y；(2)f(x)sin.解：(1)由cosx1.x2k(kZ)定义域关于原点对称，而此时y0.y既是奇函数又是偶函数(2)因为f(x)sincosx，其定义域为R，所以f(x)coscosxf(x
7、)，所以函数f(x)sin为偶函数命题视角2：余弦函数的周期例3求下列函数的周期：(1)y2cos；(2)ycos3xsin2x.解(1)y2cos2cos，函数周期T4；(2)y1cos3x的周期T1，y2sin2x的周期T2.因为T1，T2的最小公倍数是，所以T2.(1)一般地，函数yAcos(x)(xR)(其中A、为常数，且A0，0)的周期为T.今后，可以使用这个公式直接求这个函数的周期(2)两个三角函数和(或差)的周期如果f(x)周期为T1，(x)周期为T2，T1与T2的“最小公倍数”为T，则F(x)f(x)(x)的周期为T.如f(x)sin(3x)cosx，sin(3x)周期为，co
8、sx周期为，与的“最小公倍数”为，故所求函数的最小正周期为.分数与(m、n、p、qN*)的“最小公倍数”求法是先通分，然后求分子的最小公倍数k，则以最简公分母为分母，以k为分子的分数为“最小公倍数”如与的“最小公倍数”为：2.变式训练3求下列函数的周期(1)y3cos；(2)y2cos.解：因为yAcos(x)(A0，0)的周期为T.所以(1)T.(2)T.命题视角3：余弦函数的对称轴与对称中心例4求下列函数图像的对称轴、对称中心：(1)y2cos；(2)ycos.解(1)由xk(kZ)得x3k(kZ)，所以函数y2cos的图像的对称中心为(kZ)由xk(kZ)得x(3k1)(kZ)所以函数y
9、2cos的图像对称轴为直线x(3k1)(kZ)；(2)由3xk(kZ)得x(kZ)，所以函数ycos的图像的对称中心为(kZ)由3xk(kZ)得x(kZ)，所以函数ycos的图像的对称轴是直线x(kZ)关于函数yAcos(x)的对称性：将x看作整体，代入到ycosx的对称中心，对称轴的表达式，可以求出函数yAcos(x)的对称中心，对称轴. 变式训练4已知函数yf(x)的图像和ysin关于点对称，则f(x)的表达式是(B)Aycos BycosCycos Dycos解析：本题主要考查利用函数的对称性求解析式，设M(x，y)是所求函数yf(x)图像上任意一点，则点M关于点的对称点为M，代入已知函
10、数解析式中有ysinsincos，则ycos.命题视角4：余弦函数的单调性例5求函数ycos的单调递增区间和周期分析利用余弦函数的单调性和周期公式求解解设u2x，则u是x的增函数，而ycosu在区间2k，2k(kZ)上单调递增，故当2k2x2k(kZ)，即x(kZ)时，ycos单调递增故函数ycos的单调递增区间是(kZ)周期T.对于yAcos(x)的单调区间的求法，先将x看作一个整体，然后根据三角函数的单调性，确定x的范围即为所求单调区间.变式训练5(1)函数y32cosx的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)函数y1cosx，x，2的单调递增区间为，0，2解析：(1)y32cosx与y3
11、2cosx的单调性相反，由y32cosx的单调递减区间为2k，2k(kZ)，y32cosx的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)函数y1cosx的单调递增区间为2k，22k(kZ)，2k，22k，2，0，2，y1cosx的单调递增区间为，0，2类型三余弦函数性质的应用例6比较下列各数的大小：(1)cos与cos；(2)cos(828)与cos(765)解(1)coscos，因为0cos，即coscos.(2)cos(828)cos(1 080252cos252，cos(765)cos(1 080315)cos315，180252315360，且ycosx在180，360上为增函数，cos25
12、2cos315，即cos(828)cos(765)比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内，通过函数的单调性进行比较.变式训练6不求值，比较下列各对余弦值的大小：(1)cos1 155和cos(1 516)；(2)cos与cos；(3)cos与cos.解：(1)cos1 155cos(336075)cos75，cos(1 516)cos1 516cos(436076)cos76，ycosx在0，上是递减的，且07576cos76，即cos1 155cos(1 516)(2)coscos，ycosx在0，上是递减的，且0cos，即coscos.(3
13、)coscoscos，coscoscos，ycosx在0，上是递减的，且0cos，即coscos.类型四作余弦函数的图像例7用“五点法”画函数ycosx，x0,2的简图分析解答本题先在0,2上找出五个关键点，然后用平滑曲线连接即可也可先画出ycosx在0,2上的图像，再作关于x轴对称的图像解方法一：按五个关键点列表：x02cosx10101cosx10101描点并用光滑的曲线连接起来(如图所示)方法二：先用五点法画ycosx在0,2上的图像，再作它关于x轴对称的图像(图略)“五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如
14、平移、对称、翻折等.变式训练7画出函数y2cosx的简图(1)求函数的最大值与最小值并写出使此函数取得最大值与最小值的自变量x的集合(2)写出此函数的单调区间解：列表：x02cosx10101y2cosx32123描点画出图像(如图)由图像可知：(1)当cosx1即xx|x2k，kZ时，ymax213.当cosx1即xx|x2k，kZ时，ymin211.(2)此函数的单调减区间为2k，2k(kZ)，单调增区间为2k，2k2，kZ.类型五余弦函数的图像变换例8函数ycos(2x)的图像可由ysin2x的图像平移得到，若使平移的距离最短，则应()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向
15、右平移个单位分析应尝试先统一三角函数的名称，然后再进行图像变换解析方法一：ycossinsinsin2，只要将ysin2x的图像向左平移个单位即可方法二：ysin2xcoscoscos2，ycoscos2，而xx.只要将ysin2x的图像左移个单位即可答案A1.余弦型函数yAcos(x)的图像变换的方法与正弦型函数yAsin(x)的图像变换的方法完全一致.2.若所给函数的三角函数名称不统一，一般先用诱导公式进行函数名称的统一，然后再进行图像变换.变式训练8函数ycos(2x)()的图像向右平移个单位后，与函数ysin的图像重合，则.解析：ycos(2x)的图像向右平移个单位得ycoscos(2
16、x)sinsin，而它与函数ysin的图像重合，令2x2x得，符合题意1要得到余弦函数ycosx，xR的图像，只要将正弦函数ysinx，xR的图像向右平移(C)A.个单位长度 B个单位长度C.个单位长度 D2个单位长度解析：ysincosx，A错；ysin(x)sinx，B错；ysincosx，C对；ysin(x2)sinx，D错故选C.2函数ycos2x(B)A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数解析：cos(2x)cos2x，且xR，ycos2x为偶函数3函数y12cosx的最小值，最大值分别是(A)A1,3 B1,1C0,3 D0,1解析：cosx1,1，2cosx2,2，y12cosx1,3，ymin1，ymax3.4函数ycos的单调递增区间是(kZ)解析：函数ycos的单调递增区间，即函数ycos的单调递减区间，令2k2k，kZ，解得4kx4k，kZ，故该函数的单调递增区间为(kZ)
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