1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3课时零点的存在性及其近似值的求法课程目标 1.掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解知识点一函数零点存在定理 填一填如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间a，b中至少有一个零点，即x0a，b，f(x0)0.知识点二二分法 填一填1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函
2、数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值x1，使得|x1x0|的一般步骤如下：第一步：检查|ba|2是否成立，如果成立，取x1，计算结束；如果不成立，转到第二步第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f()0，取x1，计算结束；若f()0，转到第三步第三步：若f(a)f()0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有f()f(b)0，将的值赋给a，回到第一步答一答1什么样的零点可用二分法求？提示：二分法只适合求变号零点，不适合求不变号零点2下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零
3、点的是哪个？为什么？提示：因为的零点为不变号零点，所以不适合用二分法类型一零点类型的判断 例1分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点(1)f(x)3x6；(2)f(x)x2x12；(3)f(x)x22x1；(4)f(x)(x2)2(x1)x.解(1)零点是2，是变号零点(2)零点是3和4，都是变号零点(3)零点是1，是不变号零点(4)零点是1,0和2，其中变号零点是0和1，不变号零点是2.函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图像来看，若图像穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.变
4、式训练1已知函数yf(x)的图像如图所示下列结论正确的序号是(D)该函数有三个变号零点；所有零点之和为0；当x时，恰有一个零点；当0x1时，恰有一个零点A BC D解析：函数yf(x)的三个变号零点分别是1,0,1.所以正确类型二用二分法求函数的零点 例2用二分法求函数f(x)x3x2的一个正实数零点(精确度为0.1)解由f(1)20，可以确定区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表.端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02f(1)2，f(2)4(1,2)x01.5f(x0)0.1250(1.5,1.75)x21.625f(x2)0.666 00(1.5,
5、1.625)因为精确度0.1，由表中数据可知，区间(1.5,1.625)中，1.6251.50.12520.2，所以函数的一个正实数零点可近似取为x1.562 5.1.在选择区间a，b时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.变式训练2借助计算器，用二分法求函数f(x)2x23x1的一个正零点(精确度为0.1)解：由于f(1)20，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点
6、横坐标计算端点或中点的函数值定区间x11.5f(x1)10(1.5,2)x21.75f(x2)0.1250(1.75,1.875)因为精确度0.1，由上表可知，区间(1.75,1.875)的左右端点满足1.8751.750.12520.2，所以可以取该区间中点x1.812 5为所求函数的一个正零点近似值类型三二分法在实际生活中的应用 例3在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆，10 km长，大约有200多根电线杆呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
7、每查一次，可以把待查的线路长度缩减到上一次的一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解如图，他首先从中点C查用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查，这样每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用.二分法不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询，也是求根的常用方法.变式训练3在26个钢珠中，混入了一个外表和
8、它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否利用二分法设计一个方案，称较少的次数把铜珠找出来解：把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而利用二分法最多称4次便可把铜珠找出来1函数f(x)的图像如图所示，函数f(x)的变号零点个数为(D)A0 B1C4 D3解析：由题图可知，图像与x轴有4个公共
9、点，3个穿过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(C)A0.68 B0.72C0.7 D0.6解析：已知f(0.64)0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又0.68(0.640.72)2，且f(0.68)0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值3已知f(x)的一个零点x0(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(A)A6 B7C8 D9解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为20.010.02，此时可直接取该区间中点为近似值，故需判断6次中点函数值符号4用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是(2,2.5)解析：令f(x)x32x5，f(x)图像在2,3上连续不断，f(2)10，f(x0)f(2.5)5.6250，f(2)f(2.5)0，故下一个有根区间是(2,2.5)- 8 - 版权所有高考资源网
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