1、课时规范练54几何概型基础巩固组1.(2020广东佛山综合能力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A.37B.47C.57D.672.(2020四川达州高三诊断)已知0,则满足sin cos 的概率为()A.14B.13C.12D.343.(2020宁夏吴忠中学高三月考)在正方体内随机放入n个点,恰有m个
2、点落入正方体的内切球内,则的近似值为()A.2mnB.m2nC.6mnD.m6n4.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A.1213B.1314C.2129D.14155.(2020河南平顶山高三线上联考)九章算术是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,高是
3、“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别为八步和十二步,正从为八步,其内部有块广为八步,正从为五步的圭田,若将100棵果树均匀地种植在邪田,一年后,每棵果树都有60 kg果子收成,则此圭田中的收成约为()A.25 kgB.50 kgC.1 500 kgD.2 000 kg6.(2018全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1
4、=p3C.p2=p3D.p1=p2+p37.已知圆柱OO的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO及其内部,区域N表示圆柱OO内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为()A.13B.23C.56D.168.在区间-,上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OAOB42的概率为()A.1-8B.1-4C.1-2D.1-349.(2020陕西汉中高三检测)设D是半径为R的圆周上一定点,在圆周上随机取一点C,连接CD得一弦,若A表示事件“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”,则事件A发生的概率P(A)=.10.割
5、补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法,在ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为.综合提升组11.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b0,6时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为()A.23B.22C.12D.1312.(2020河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)
6、有n对,则通过随机模拟的方法得到的的近似值为()A.m+2nmB.m+2nnC.2m+4nmD.m+2n2n13.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A.1-22B.22C.1-32D.1214.已知某几何体的三视图如图所示,在该几何体内随机取一点,则此点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是.15.记m表示不超过m的最大整数.若在x1
7、8,12上随机取1个实数,则使得log2x为偶数的概率为.创新应用组16.(2020山西实验中学高三月考)我们可以用随机数法估计的值,下面程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为521,则由此可估计的近似值为()A.3.119B.3.126C.3.132D.3.15117.已知实数a,b满足0a1,-1b1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为.参考答案课时规范练54几何概型1.D窗花的面积为122-41=140,其中小正方形的面积为5412=20,所以所求概率140-20140=67.2.A0,sincos
8、,04,满足sinPD,所以由几何概型的概率得P(A)=13.10.14由题得SABC=12ah,S矩形=a2h,SABC=S矩形.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为14.11.A圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为:x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.1
9、2.C依题有0x1,0y1,试验的全部结果构成以1为边长的正方形,其面积为1.因为x,y能与1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形知识得x2+y21,构成如图阴影部分,其面积为4-12,由几何概型概率计算公式得nm=4-121,解得=2m+4nm.13.A由题意,AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围为14个圆,与AB相交于C,D两点,作OEAB,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故选A.14.13根据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱,其体积为2,线段AB
10、是底面的直径,线段AB的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段AB的中点的距离不大于1的点构成了以底面圆心为球心,半径为1的半球,其体积为1243r313=23,所以所求的概率是232=13.15.23若x18,12,则log2x(-3,-1).要使得log2x为偶数,则log2x-2,-1).所以x14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.16.B模拟执行该程序框图,可知该框图是计算满足x,y,z(0,1)的1000组(x,y,z)数据中,满足x,y,z(0,1)且x2+y2+z21的组数,根据几何概型概率公式可得x,y,z(0,1)且x2+y2+z21发生的概率为431318=6,当输出结果为521时,i=1001,m=521,x2+y2+z21发生的概率为P=5211000,5211000=6,即=3.126,由此可估计的近似值为3.124,故选B.17.516对y=13ax3+ax2+b求导数可得y=ax2+2ax,令ax2+2ax=0,可得x=0或x=-2,0a0,b0,b0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0a1,-1b1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为121+14=58,所以所求概率为P=582=516,故答案为516.
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