1、高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第50期9.8 抛物线基础自测1.设a0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 .答案 2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为 .答案 43.抛物线y2=24ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 .答案 y2=8x4.（2008重庆文）若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 .答案 45.（2008全国文，15）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于 .答案 2例题精讲 例1 已知
2、抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.解 将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=.2，A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PAl时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，点P坐标为（2，2）.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.解 若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py
3、(p0)，这时准线方程为y=,由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,抛物线方程为x2=-8y,这时将点A（m,-3）代入方程，得m=2.若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax (a0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式，于是从题设有，解此方程组可得四组解,，.y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；y2=18x,m=；y2=-18x,m=-.例3 （2008山东理，22改编）如图所示,设抛物线方程为x2=2py (p0),M为直线y=-2p上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(
4、2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.(1)证明 由题意设A,B,x1x2, M.由x2=2py得y=,则y=,所以kMA=,kMB=.因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).所以,+2 p = (x1-x0),+2 p =(x2-x0).由、得=，因此，x0=，即2x0=.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. （2）解 由（1）知，当x0=2时，将其代入、，并整理得：x-4x1-4p2=0，x-4x2-4 p 2=0，所以，x1、x2是方程x2-4x-4 p 2=0的两根，因此，x1+x2=4，x1x2=-4 p 2，又kAB=，所
5、以kAB=.由弦长公式得|AB|=.又|AB|=4，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.巩固练习 1.（2008辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .答案 2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程.解 设抛物线的方程为y2=2 p x(p0),其准线为x=-.设A（x1,y1）,B(x2,y2),|AF|+|BF|=8，x1+x2+=
6、8，即x1+x2=8-p.Q（6，0）在线段AB的中垂线上，|QA|=|QB|.即(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22,又y12=2px1,y22=2px2,(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.AB与x轴不垂直，x1x2,故x1+x2-12+2p=8- p-12+2 p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.3.已知以向量v=为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2=2px（p0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.（1）求抛物线C的方程；（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N，若+p2=0（O为原点，A、B异于原
7、点），试求点N的轨迹方程.解 （1）由题意可得直线l的方程为y=x+,过原点垂直于l的直线方程为y=-2x.解得x=-.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，-=-2, p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.由+ p 2=0，得x1x2+y1y2+4=0,又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y2=-8, 直线ON：y=x，即y=x. 由、及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y0).回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.若点P到点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则P的轨迹方程为
8、 .答案 x2=8y2.设F为抛物线y2=ax (a0)的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为12，则|PF|= .答案 3.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是 .答案 4.已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n（mn)的两段，那么m+n与mn的大小关系是 .答案 相等5.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则= .答案 -6.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若+=0,则|+|+|= .答案 67.（2008全国理，15）已知F为抛物
9、线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点.设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于 .答案 3+28.（2008江西理，15）过抛物线x2=2py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则= .答案 二、解答题9.已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边的方程是y=2x,求抛物线的方程.解 因为一直角边的方程是y=2x,所以另一直角边的方程是y=-x.由，解得,或（舍去）， 由,解得,或（舍去）,三角形的另两个顶点为和（8 p,-4p）.=2.解得p=,故所求抛物线的方
10、程为y2=x.10.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线=1（a0,b0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线方程.解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p=2c.抛物线方程为y2=4cx.抛物线过点，6=4c.c=1，故抛物线方程为y2=4x.又双曲线=1过点，=1.又a2+b2=c2=1.=1.a2=或a2=9（舍）b2=，故双曲线方程为4x2-=1.11.如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x
11、轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值，并求此定值.（1）解 由已知得2 p=8,=2,抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2.（2）证明 设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,故xA+xB=,记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则xE=,yE=k(xE-2)=,故直线m的方程为y-=-,令y=0,得点P的横坐标xP=+4,故|FP|=xP-2=,|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)=8,为定值.12.已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q
12、在x轴非负半轴上，点M在直线AQ上，满足=0，=-.（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C的准线为l,焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且nl=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.解 （1）设M（x,y）为轨迹上任意一点， A（0,b）,Q(a,0)(a0),则=（x,y-b），=(a-x,-y),=-，（x，y-b）=-（a-x，-y），从而.A，且=, =.=0，=0，即3x-y2=0,y2=4x,故M点的轨迹方程为y2=4x.(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k0),由ky2-4y-4k=0,设G（x1,y1）,H(x2,y2),则由根与系数的关系得，y1y2=-4,又由已知=（-1，y1),=,(-1)y2-y1=-y2-y2=-y2+y2=0,故O，E，H三点共线.323