1、高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式 总第33期7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基础自测1.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示ABC的边界及其内部的约束条件是 .答案 2.（2008天津理，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为 .答案 53.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是 .答案 -5m104.（2008北京理）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是 .答案 15.（2008福建理）若实数x、y满足，则的取值范围是 .答案 （1，+）例题精讲 例1 画出不等式组表示的平面
2、区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x-y+50表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以,不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x ,y-3,8.Z(2)由图形及不等式组知当x=3时,-3y8,有12个整点;当x=2时,-2y7,有10个整点;当x=1时,-1y6,有8个整点;当x=0时，0y5，有6个整点；当x=-1时,1y4,有4个整点;当x=-2时,2y3,有2个整点;平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个
3、).例2 （2008湖南理，3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 .答案 6例3某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元， 则线性约束条件为，目标函数为z=7x+12y, 作出可行域如图， 作出一组平行直线7x+12y=
4、t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20，24)时，利润最大即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=720+1224=428（万元）.答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.巩固练习 1.（2008浙江理，17）若a0，b0，且当时，恒有ax+by1，则以a，b为坐 标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 .答案 12.（2008全国理，13）若x，y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 .答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个
5、小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，那么利润p=15x+20y.NN其中x,y满足限制条件.即点（x,y）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000(即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.对于某一个确定的p=p0满足p0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y就是一个能获得
6、p0元利润的生产方案.对于不同的p,p=15x+20y表示一组斜率为-的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p的最大值，需把直线p=15x20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值.由,得B（200，900），当x=200,y=900时，p取最大值，即pmax=15200+20900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21000元.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.（2008全国理，5）设变量x,y满足约束条件:则z=x-3y的最小值为 .答案 -82
7、.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 .答案 0a1或a3.已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m= .答案 14.（2008山东理）设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M,使函数y=ax（a0,a1)的图象过区域M的a的取值范围是 .答案 2,95.如果实数x，y满足,目标函数z=kx+y的最大值为12，则k的值为 答案 26.（2007江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=(x,y)|x+y1,且x0, y0,则平面区域B=(x+y,x
8、-y)|(x,y)A的面积为 .答案 17.（2008安徽理，15）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .答案 8.设集合A=(x,y)|y|x-2|,x0,B=(x,y)|y-x+b,AB(1)b的取值范围是 ；（2）若(x,y)AB,且x+2y的最大值为9,则b的值是 .答案 （1）2,+)（2）二、解答题9.已知实数x、y满足，试求z=的最大值和最小值.解 由于z=，所以z的几何意义是点（x,y）与点M（-1，-1）连线的斜率，因此的最值就是点（x，y）与点M（-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB的斜率最大
9、，直线MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时x=0，y=2； zmin=kMC=，此时x=1，y=0.10.已知变量x,y满足的约束条件为.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a的取值范围.解 依据约束条件，画出可行域.直线x+2y-3=0的斜率k1=-,目标函数z=ax+y(a0)对应直线的斜率k2=-a,若符合题意，则须k1k2,即-a,得a.11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C三种规格成品: 某建筑工地需A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可 得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x张，
10、第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y约束条件为：作出可行域如图所示：令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A可使 z取最小，由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点A不是最优解；通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C（4，8），它们都是最优解.答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；两种方法都最
11、少要截两种钢板共12张.12.在R上可导的函数f(x)= x3+ax2+2bx+c,当x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域 的面积以及的取值范围.解 函数f(x)的导数为f(x)=x2+ax+2b,当x(0,1)时,f(x)取得极大值,当x(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到,在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),ABD的面积为SABD=|BD|h=(h为点A到a轴的距离).点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,显然(kCA,kCB),即.207