1、73.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义目标 1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题；2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 重点 复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用难点 复数三角形式的乘除运算 要点整合夯基础 知识点一 复数的三角形式的运算填一填设z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则(1)乘法：z1z2r1r2cos(12)isin(12)，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和(2)除法：z1z2cos(12)isin(12)(其中z20)
2、，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差(3)乘方：znrn(cosnisinn)(4)开方：(cosisin)(k0,1,2，n1)知识点二复数三角形式乘、除运算的几何意义填一填两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转一个角2(如果20，就要把按顺时针方向旋转一个角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义z20，的几何意义是把z的对应向量按顺时针方向旋转一个角2(如果20，所以复数z2z的模
3、为2cos，辐角为(2k1)(kZ)类型二复数的乘、除运算的几何意义例2向量与1i对应，把按逆时针方向旋转120，得到，求与向量对应的复数解将向量逆时针方向旋转120，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1(cos120isin120)，即z(1i)(cos120isin120)(cos135isin135)(cos120isin120)(cos255isin255)i.利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.变式训练2如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明123.证明：1，2，3分别等于复数1i,2i,3i的辐角主值，这样123就是(1i)(2i)
4、(3i)10i的辐角，1，2，3都是锐角，所以123. 课堂达标练经典 1计算：4(cosisin)2(cosisin)解：原式2cos()isin()2(cosisin)2i.2把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z21i，求复数z1的代数形式和它的辐角主值解：由复数乘法的几何意义得z1(cosisin)z2(cosisin)，又z21i2(cosisin)，z12cos(3)isin(3)i，z1的辐角主值为.3计算：(cosisin)4(cosisin)解：原式4cos()isin()4(cosisin)22i.4若z(cosisin)，求z2与
5、z3的值解：z2zz()2cos()isin()3(cosisin)i.z3zzz()3cos(3)isin(3)3(cosisin)3i.5在复平面上A，B表示复数为，(0)，且(1i)，判断AOB形状，并证明SAOB|2.解：AOB为等腰直角三角形证明：0，(1i)，1i(cosisin)，AOB；，分别表示复数，由i，得icosisin，OAB90，AOB为等腰直角三角形SAOB|OA|2|2.本课须掌握的问题复数的代数形式较为容易运算，因此把三角形式化为代数形式，按照代数形式的乘法运算法则就可以完成运算根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法
