1、高考资源网（） 您身边的高考专家6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的概念目标 1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；2.知道向量的投影向量；3.记住数量积的几个重要性质重点 向量夹角，数量积的含义及公式难点 向量夹角，数量积的重要性质 要点整合夯基础 知识点一向量的夹角填一填(1)已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(2)向量夹角的取值范围是0；当0时，a与b同向；当时，a与b反向(3)如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作ab.答一答1零向量与向量a的夹角是多少呢？提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量
2、a的夹角没有意义2等边三角形ABC中，向量与的夹角是60吗？提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120而不是60.知识点二向量数量积的定义填一填(1)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos.(2)零向量与任一向量的数量积为0.答一答3向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：向量的数量积ab是一个实数，数乘向量a仍是一个向量知识点三投影向量填一填如图(1)，设a，b是两个非零向量，a，b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂
3、线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量；如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量 答一答4如图(2)，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么与e，a，之间有怎样的关系？提示：对于任意的0，都有|a|cose.知识点四数量积的几个性质填一填设a、b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(
4、4)|ab|a|b|.答一答5ab0时，a0或b0吗？提示：不一定，当ab时，也有ab0. 典例讲练破题型 类型一向量的夹角问题例1在ABC中，AB，BC1，AC2，D是AC的中点求：(1)与的夹角大小；(2)与的夹角大小分析由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题解(1)如图所示，在ABC中，AB，BC1，AC2，AB2BC2()21222AC2，ABC为直角三角形tanA，A30.D为AC的中点，ABDA30，.在ABD中，BDA180AABD1803030120.与的夹角为120.(2)，与的夹角也为120.求两个向量的夹角关键是利用平移的方
5、法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.变式训练1已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是.求.解：如图，作a，b，且AOB60，以OA、OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB.所以COA906030，即ab与a的夹角30，90.类型二向量数量积的运算例2已知|a|2，|b|3，当：(1)a与b的夹角为60；(2)ab；(3)ab时，分别求ab.分析由于已知|a|2，|b|3，因此要求
6、ab的关键是通过条件得出a与b的夹角，然后代入数量积的计算式求得解(1)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos23cos603.(2)当ab，即a与b的夹角为90时，ab|a|b|cos23cos900.(3)当ab，即a与b的夹角0或180，若0，则ab|a|b|cos23cos06；若180，则ab|a|b|cos23cos1806.已知|a|，|b|求ab时，需先确定两向量的夹角，再利用数量积的定义求解.本题中注意ab时，要分0和180两种情况讨论.变式训练2在RtABC中，C90，AC4，则(D)A16B8C8 D16解析：设CAB，所以AB，|cos4cos16.类型三向量的投
7、影例3设非零向量a和b，它们的夹角为.(1)若|a|5，150，求a与b方向上的投影；(2)若ab9，|a|6，求b在a方向上的投影解(1)|a|cos5cos1505.a在b方向上的投影为.(2).b在a方向上的投影为.a在b的方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于角的范围.变式训练3已知向量a，b，其中|a|1，|a2b|4，|a2b|2，则a在b的方向上的投影为(A)A1B1C2 D2解析：|a2b|4，即(a2b)216，从而得a24ab4b216，4ab4|b|215，|a2b|2，即(a2b)24，从而得a24ab4b24，4ab4|b|23，联立
8、解得|b|，ab，a在b的方向上的投影为1.课堂达标练经典 1若|a|3，|b|4，a，b的夹角为135，则ab(B)A3 B6C6 D12解析：ab|a|b|cos135346.2已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为(B)A3 B.C2 D.解析：ab|a|b|cos|b|a|cos3.故选B.3在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是(B)A.与的夹角是锐角B.与的夹角是锐角C.与的夹角是钝角D.与的夹角是锐角解析：由向量夹角的定义可知，与的夹角为A，为锐角4给出以下命题：a00；0a0；0；|ab|a|b|；若a0，则对任一非零向量b有ab0；ab0，则a与b中至少有一
9、个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中正确命题的序号是.解析：本题考查数量积的概念及向量运算上述7个命题中只有正确，对于，两个向量的数量积是一个实数，应有0a0；对于，应为0a0；对于，由数量积定义，有|ab|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有0或时，才有|ab|a|b|；对于，若非零向量a、b垂直，有ab0；对于，由ab0可有ab，即可以都非零5已知向量a、b满足：a29，ab12，求|b|的取值范围解：|a|2a29，|a|3，又ab12，|ab|12.|ab|a|b|，123|b|，|b|4，故|b|的取值范围是4，)本课须掌握的三大问题1两向量夹角的实质和求解(
10、1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出2两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)3(1)投影的概念：若向量a与b的夹角为，则向量b在a的方向上的投影为|b|cos；向量a在b的方向上的投影为|a|cos.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积；数量积ab也等于b的长度|b|与a在b的方向上的投影|a|cos的乘积，这两个投影是不同的- 9 - 版权所有高考资源网
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