1、6.2.3向量的数乘运算目标 1.记住向量数乘的定义及其规定；2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题；3.记住向量数乘运算法则并能进行相关运算重点 向量数乘的定义难点 向量共线基本定理 要点整合夯基础 知识点一向量数乘的定义填一填一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；0时，a0.答一答1数乘向量与数乘数有什么区别？提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数22a与a有什么关系？提示：2a与a方向相反，2a的长度是a长度
2、的2倍知识点二向量数乘的运算律填一填实数与向量的积的运算律中，结合律是(a)()a，它的几何意义是将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|倍，再伸长或压缩|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍所得结果相同第一分配律是()aaa，几何意义是将表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍后相加，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍所得结果相同第二分配律是(ab)ab，几何意义是将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|倍，再相加所得结果相同答一答3向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？提示：向量
3、数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：()aaa和(ab)ab，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同知识点三向量共线基本定理填一填向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.答一答4定理中条件a0能漏掉吗？提示：定理中a0不能漏掉若ab0，实数仍然存在，但是任意实数，不唯一；若a0，b0，则不存在实数，使ba.5与非零向量a共线的单位向量是.知识点四线性运算填一填(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算(2)任意向量a，b，以及任意实数，1，2恒有(1a2b)1a2b.答一答6向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实
4、数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用 典例讲练破题型 类型一向量的数乘运算例1计算：(1)3(6ab)9；(2)2.分析综合运用向量数乘的运算律求解解(1)原式18a3b9a3b9a；(2)原式ababab0.向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.变式训练1(1)若a2bc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)(C)AaBbCcD以上都
5、不对(2)(4a3b)b(6a7b)ab.解析：(1)3(a2b)2(3bc)2(ab)a2b2c2bc2b2cc，故选C.(2)原式ab.类型二用已知向量表示未知向量例2如图所示，已知ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.分析利用向量的加法和数乘运算进行化简解设x，则x，e1x，e1x.由，得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1.由，e1x，得xe1e1e1e2.由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量
6、转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.变式训练2如图，设ABC的重心为M，O为平面上任一点，a，b，c，试用a、b、c表示向量.解：连接AM并延长交BC于D点M是ABC的重心，D是BC的中点，且AMAD.()()()(ba)(cb)abc.a(abc)类型三向量共线定理的应用例3已知非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数值分析对于(1)，欲证明A，B，D三点共线，只需证明存在，使即可对于(2)，若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在，使ke1e2(e1ke2)解(1)证明：e1e
7、2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B.A，B，D共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有则k1.用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数，使得ba(a，b为由这三点构成的任意两个向量).证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线.变式训练3已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是(A)2a3b4e且a2b3e；存在相异实数，使ab0；xayb0(其中实数x，y满足xy0)；已知梯形ABCD，其中a，b.ABCD解析：首先判定能否
8、使a，b共线，由向量方程组 可求得：ae，be，b10a，a，b共线，因此可排除C、D；而由可得，是相异实数，所以，不同时为0，不妨设0，ba，故a，b共线，所以排除B，故选A. 课堂达标练经典 1设R，下列叙述不正确的是(D)A(a)()a B()aaaC(ab)ab Da，a的方向相同(0)解析：A，B，C选项是向量数乘满足的运算律，均正确；D不正确，当0时，a与a的方向相反2点P在ABC所在平面上，且满足2，则(B)A.B. C.D.解析：因为22()，所以3，所以，共线，且3|，所以.3若|a|m，b与a方向相反，|b|2，则ab.解析：2|a|m|b|，a与b方向相反，ab.4在正方
9、形ABCD中，E为线段AD的中点，若，则.解析：如图，因为，所以1.5已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，是否存在这样的实数，使dab与c共线？解：dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，2.故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线本课须掌握的三大问题1向量数乘运算的意义(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的(2)a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量2对向量共线定理的理解(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数，使ba(a0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a0)，则必存在一个实数，使ba.(2)定理中，之所以限定a0是由于若ab0，虽然仍然存在，可是不唯一，定理的正反两个方面不成立(3)若a，b不共线，且ab，则必有0.3判断两个向量是否共线的方法判断两个向量是否共线可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程若方程有解且与题目条件无矛盾，则存在，反之不存在
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