1、第三章概率31随机事件的概率31.1随机事件的概率1了解随机事件、必然事件、不可能事件、确定事件等基本概念2了解随机事件概率的定义和随机事件的发生存在着规律性3理解频率与概率的区别与联系2频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率3概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)
2、随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值()(2)任意事件A发生的概率P(A)总满足0P(A)1.()(3)若事件A的概率趋近于0，即P(A)0，则事件A是不可能事件()提示(1)(2)必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.(3)当P(A)0，事件A发生的可能性很小题型一 事件类型的判断【典例1】在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件：(1)如果a、b都是实数，那么abba; (2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； (3)没有水分，种子发芽； (4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话； 思路导引结合必然事件、不可能事件
3、、随机事件的定义可知解(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件. (2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件. (3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件. (4)电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件. 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件). 针对训练1指出下列事件是必然事件、不可能事件还
4、是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5) 科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现解(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件(2)所有三角形的内角和均为180，所以是必然事件(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件(5) 由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.题型二 随机事件的频率与概率【典例2
5、】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如图频率分布直方图： (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例. 思路导引(1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，然后利用频率估计概率； (2)计算出样本中分数在
6、40,50)内的人数，然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数； (3)先求出样本中男女生人数，然后利用样本比例估计总体比例. 解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6, 所以样本中分数小于70的频率为10.60.4, 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9, 分数在区间40,50)内的人数为1001000.955.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为40020人(3)由题意知，样本中分数不小于70的学生人数
7、为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为6030，所以样本中男生人数为30260人，女生人数为1006040人，男生和女生的比例为604032.故总体中男生和女生人数比例为32.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率. 此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率. 针对训练2某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(
8、元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事
9、件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024辆所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为0.24.由频率估计概率得P(C)0.24.题型三 试验结果分析【典例3】某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)(1)写出这个试验的所有结果；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件思路导引根据日常生活的经验按一定的顺序逐个列出全部结果解(1)当x1时
10、，y2,3,4；当x2时，y1,3,4；当x3时，y1,2,4；当x4时，y1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A(2,1)，(2,3)，(2,4)列举试验所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件；(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树形图、列表等方法解决针对训练3袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机
11、试验的条件和结果(1)从中任取1球；(2)从中任取2球解(1)条件为：从袋中任取1球结果为：红、白、黄、黑4种(2)条件为：从袋中任取2球若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑) 6种课堂归纳小结1对随机事件的频率与概率的理解对于一个随机事件而言，其频率是在0,1内变化的一个数，并且随着试验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率因此可以说，频率是变化的，而概率是不变的，是客观存在的2频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小3频率是不能脱离具体的n次试验的实验值
12、，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值4频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值1下列事件：长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；经过有信号灯的路口，遇上红灯；从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；下周六是晴天其中，是随机事件的是()A B C D解析为必然事件；对于，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以是不可能事件；为随机事件答案D2“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是()A不可能事件B必然事件C可能性较大的随机事件D可能性较小的随机事件解析掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小答案D3在1,2,3，10这
13、10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字的和大于6”这一事件是()A必然事件 B不可能事件 C随机事件 D以上选项均不正确 解析从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和可能等于6，也可能大于6，所以是否大于6需要取出数字才知道，故“这3个数字的和大于6”这一事件是随机事件. 答案C4小王将一枚均匀的骰子连续抛掷了10次，点数6出现了3次，则()A点数为6的概率为0.3 B点数为6的频率为0.3 C点数为6的频率为3 D点数为6的概率接近于0.3解析因为点数6出现的频数为3，所以0.3，故点数为6的频率为0.3.故选B.答案B5从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别
14、为(单位：g)：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5501.5 g之间的概率约为_. 解析样本中白糖质量在497.5501.5 g之间的有5袋，所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5501.5 g之间的频率为0.25，则概率约为0.25.答案0.25概率在生活中的应用根据频率的计算公式fn(A)和频率与概率的关系可以解决实际生活中的相关问题【典例】为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如20
15、00尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数思路导引在日常生活中我们常常用频率估计概率解设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性相等，从水库中任捕一尾，设事件A为“带有记号的鱼”，易知P(A).第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数nn40，由概率的统计定义可知P(A).所以，解得n25000，故可以估计水库中约有鱼25000尾利用频率近似等于概率的关系求
16、未知量的方法(1)抽出m个样本进行标记，设总体容量为n，则标记概率为；(2)随机抽取n1个个体，其中m1个出现标记，则标记频率为；(3)用频率近似等于概率建立关系式，(4)求出n，注意这个n值仅是真实值的近似值针对训练在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数1.30,1.34)41.34,1.38)251.38,1.42)301.42,1.46)291.46,1.50)101.50,1.542合计100(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？解(1)频
17、率分布表如下表.分组频数频率1.30,1.34)40.041.34,1.38)250.251.38,1.42)300.301.42,1.46)290.291.46,1.50)100.101.50,1.5420.02合计1001.00频率分布直方图如图所示(2)纤度落在1.38,1.50)中的频数是30291069，则纤度落在1.38,1.50)中的频率是0.69，所以估计纤度落在1.38,1.50)中的概率为0.69.纤度小于1.40的频数是4253044，则纤度小于1.40的频率是0.44，所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.课后作业(十六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间25分
18、钟)1下列事件中，是随机事件的有()在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；若a为整数，则a1为整数；发射一颗炮弹，命中目标；检查流水线上一件产品是合格品还是次品A1个 B2个 C3个 D4个解析当a为整数时，a1一定为整数，是必然事件，其余3个为随机事件答案C2从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是()A3个都是正品 B至少有1个是次品C3个都是次品 D至少有1个是正品解析任意抽取3件的可能情况是：3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3 种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必
19、然发生的，即必然事件应该是“至少有1个是正品”答案D3下列说法正确的是()A任何事件的概率总是在(0,1之间B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D概率是随机的，在试验前不能确定解析由概率与频率的有关概念知，C正确答案C4给出下列3种说法：设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；作7次抛掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率其中正确说法的个数是()A0 B1 C2 D3解析由频率与概率之间的联系与区别知，均不正确答案A5下列事件中，为必然事件的是()
20、A10人中至少有2人生日在同一个月B11人中至少有2人生日在同一个月C12人中至少有2人生日在同一个月D13人中至少有2人生日在同一个月解析一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日故选D.答案D6已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了_次试验解析设共进行了n次试验，则0.02，解得n500.答案5007某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是_，中9环的概率是_解析打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为0.9，其中3次中9环，故
21、中9环的频率是0.3答案0.90.38从存放号码分别为1,2,3，10的卡片的盒里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数1785769189129取到号码为奇数的频率为_解析取到奇数号码的次数为58，故取到号码为奇数的频率为0.58.答案0.589先后抛掷两枚质地均匀的硬币(1)一共可能出现多少种不同的结果？(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？解(1)一共出现“两枚正面”“一枚正面，一枚反面”“一枚反面，一枚正面”“两枚反面”4种不同的结果(2)出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种，即为“一枚正面，一枚反面”“一枚反
22、面，一枚正面”10指出下列试验的结果：(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差解(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球(2)结果：132,312,165,615，1109,1019,363,633，3107,1037,6104,1064.即试验的结果为：2,2，5,5，9,9，3,3，7,7，4,4.应试能力等级练(时间20分钟)11一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为()A(男，女)，(男，男)，(女，女)B(男，女)，(女，男)C(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D(男，男)，(女，女)解析
23、随机试验的所有结果要保证等可能性两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C.答案C12“连续掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有()A6种 B12种 C24种 D36种解析试验的全部结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6
24、,1)，(6,2)，(6,3)(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种答案D13如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是_解析取了10次有9个白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球答案白球14质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是_事件解析质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件答案随机15假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率解(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有7570145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.