1、6垂直关系61垂直关系的判定一直线与平面垂直的判定1直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直2直线和平面垂直的判定定理1直线与平面垂直定义中的关键词“任何一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答案定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直2线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？答案用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直
2、线有公共点，则是无关紧要的题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解【典例1】下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；若平面内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面不垂直解析当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；根据线面垂直的定义，若l，则l与内的所有直线都垂直，所以正确答案(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义
3、当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直(2)由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.针对训练1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm解析对于A，直线lm，m并不代表平面内任何一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l，则l垂直内任何一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任何一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面答案
4、B题型二 线面垂直的判定【典例2】在三棱锥PABC中，H为ABC的垂心，APBC，PCAB，求证：PH平面ABC.思路导引证明直线PH与平面ABC内的两条相交直线垂直即可证明如图，连接AH，因为H为ABC的垂心，所以AHBC，又APBC，AHAPA，所以BC平面AHP，又PH平面AHP, 所以PHBC.同理可证PHAB, 又ABBCB，所以PH平面ABC. 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直针对训练2如图，已知ABC中，ACB90，SA平面ABC，ADSC于D，求证：AD平面SBC.证明因为ACB90，所以BCAC.又SA平面
5、ABC，所以SABC.又ACSAA，所以BC平面SAC.因为AD平面SAC，所以BCAD.又SCAD，SCBCC，所以AD平面SBC.1如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，BD平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交答案C2下列表述正确的个数为()若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a平行于
6、平面内的两条直线，则a；若直线a垂直于平面内的两条直线，则a.A0 B1 C2 D3解析中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内或与斜交；由直线与平面垂直的判定定理知错答案A3如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边那么能保证该直线与平面垂直的是()A BC D解析如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面，因此可知适合判定定理故选A.答案A4已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)解析P到
7、ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心答案外心课后作业(十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内的任何一条直线垂直，则l.A3 B2 C1 D0解析根据线面垂直的判定定理可知，当平面内有两条相交直线都与l垂直时，直线l与平面垂直，故错误，正确。故选B.答案B2在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ()A1 B2 C3 D6解析仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直答案B3
8、PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()APABC BBC平面PACCACPB DPCBC解析PA平面ABC，PABC，A正确；C为以AB为直径的圆周上一点，BCAC，又BCPA，BC平面PAC，BCPC，B、D正确故选C.答案C4如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定解析BA，l，l，BAl.同理BCl.又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.答案C5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D
9、4解析PA平面ABCDPAAB，PAAD，PABC，PACD.BC平面PABBCPB由CD平面PADCDPD.PAB，PAD，PBC，PCD都是直角三角形答案D6已知直线l，a，b，平面，若要得到结论l，则需要在条件a，b，la，lb中另外添加的一个条件是_. 解析由直线与平面垂直的判定定理知，需添加的一个条线为：a与b相交答案a与b相交7在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，则ED_.解析如图，AC6，BC8，AB10，CD5.在RtECD中，EC12，ED13.答案138如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与
10、PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析(1)因为PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)BCA90，即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC，PA平面PAC.所以BCAP.答案(1)AB，AC，BC(2)BC9如图所示，已知空间四边形ABCD的边BCAC，ADBD，BECD于E，AHBE于H，求证：AH平面BCD.证明取AB的中点F，连接CF，DF.ACBC，CFAB.又ADBD，DFAB.CFDFF，AB平面CDF.又CD平面CDF，ABCD.又CDBE，ABBEB，CD平面ABE.又AH平面ABE，CDAH.又AH
11、BE，且BECDE，AH平面BCD.10.如图所示，ABC中，B为直角，P是ABC外一点，且PAPB，PBBC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得 MNAB. 解CBAB，CBPB，ABPBB，CB平面APB.过M作MECB，则ME平面APB，MEAB.若MNAB，MEMNM，则AB平面MNE，ABEN.取AB中点D，连接PD，PAPB，PDAB，NEPD.又M为PC中点，MEBC，E为PB中点ENPD，N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AN3BN)时，MNAB.应试能力等级练(时间25分钟)11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与C
12、E垂直的是()AAC BBDCA1D1 DA1A解析BDAC，BDA1A，ACA1AA，BD平面ACC1A1.又CE平面ACC1A1，BDCE.答案B12如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPB0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_解析因为PA平面AC，QD平面AC，PAQD.又PQQD，PAPQPQD平面PAQ，所以AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、
13、Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.综上所述，a的取值范围为2，)答案2，)14.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点设CFFD，则当_时，D1E平面AB1F.解析当1时，D1E平面AB1F.连接A1B、CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1又D1E面A1BCD1，AB1D1E.又DD1平面BDAFDD1.又AFDE，AF平面D1DEAFD1E.D1E平面AB1F.即当点F是CD的中点1时，D1E平面AB1F. 答案115.如图，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)若APAD，求证：MN平面PCD. 证明(1)取PD的中点E，连接NE、AE，如图N是PC的中点，NE綊DC.又DC綊AB，AMAB，AM綊CD，NE綊AM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)APAD，AEPD.又MNAE，MNPD.PA平面ABCD，PACD.又CDAD，CD平面PAD.AE平面PAD，CDAE.CDMN，又CDPDD，MN平面PCD.