1、高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列4选讲 总第70期 14.2 坐标系与参数方程基础自测1.曲线的极坐标方程=4sin化为直角坐标方程为 .答案 x2+(y-2)2=42.直线(t为参数)上到点A（1，2）的距离为4的点的坐标为 .答案 （-3，6）或（5，-2）3.过点A（2，3）的直线的参数方程（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B，则|AB|= .答案 24.直线(t为参数)被圆（x-3）2+(y+1)2=25所截得的弦长为 .答案 5.若直线x+y=m与圆(为参数，m0)相切，则m为 .答案 2例题精讲 例1 将极坐标方程sin=化为直角坐标方程，并说明该方程表
2、示什么曲线.解 由sin=,=,得sin=.则y0,平方得x2+y2=9y2,即y2=x2,y=x,因此，它表示端点除外的两条射线： y=x (x0)和y=-x(x0).例2 在极坐标系中，求过点A，并且平行于极轴的直线l的极坐标方程.解 如图所示，设M（，）为直线l上的任意一点，则OM=,MOC=.过点A，M作极轴的垂线AB，MC交极轴与B，C两点. lOx，MC=AB.则OA=6，AOB=.所以MC=AB=3.由sin=,得sin=3.所以sin=3为所求的直线l的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参
3、数）； （4）（为参数）.解 （1）由x=1+t得，t=2x-2.y=2+(2x-2).x-y+2-=0,此方程表示直线.（2）由y=2+t得,t=y-2，x=1+（y-2）2.即(y-2)2=x-1,方程表示抛物线.（3）由2-2得，x2-y2=4,方程表示双曲线.（4）,得2+2，得=1表示椭圆.例4 （2008盐城调研）（10分）求直线（t为参数）被曲线=cos所截的弦长.解：将方程=cos分别化为普通方程：3x+4y+1=0,x2+y2-x+y=0, 5分圆心C半径为，圆心到直线的距离d=,弦长=2=2=. 10分巩固练习 1.在极坐标系中，已知三点M、N（2，0）、P.（1）将M、N
4、、P三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断M、N、P三点是否在一条直线上.解 （1）由公式，得M的直角坐标为(1,-);N的直角坐标为（2，0）；P的直角坐标为（3，）.（2）kMN=，kNP=.kMN=kNP，M、N、P三点在一条直线上.2.求圆心在A（a0），半径为a的圆的极坐标方程.解 如图所示，设M（，）为圆上的任意一点（点O，B除外），则OM=，MOx=.连结BM，OB=2a，MOB=-.在直角三角形OBM中，cosMOB=cos（-），即=2acos(-).(*)经检验，O（0，），B（2a，）满足方程（*），所以=2acos（-）为所求的圆的极坐标方程.3.（2008栟茶模拟）将参
5、数方程(为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.解 y=4cos2=4-8sin2,由x=3sin2,得sin2=.y=4-x，即8x+3y-12=0.x=3sin20，所求普通方程为8x+3y-12=0 (x0).它表示一条射线.4.已知经过点M（-1，1），倾斜角为的直线l和椭圆=1交于A，B两点，求线段AB的长度及点M（-1，1）到A，B两点的距离之积.解 直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆的方程，得=1.即3t2+2t-2=0,解得t1=-,t2=.所以，由参数t的几何意义，得|AB|=|t1-t2|=,|MA|MB|=|t1t2|=.回顾总结 知识方法思想课后作业一、填空题1
6、.已知点P（x,y）在曲线(为参数)上，则的取值范围为 .答案 2.已知直线l经过点P（1，1），倾斜角=，直线l的参数方程为 .答案 3.极坐标系中，圆=10cos的圆心坐标为 .答案 4.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为 .答案 （2，-）5.已知曲线的参数方程为,分别以t和为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 .答案 2或16.已知2x2+3y2-6x=0 （x,yR），则x2+y2的最大值为 .答案 97.从极点O作直线与另一直线lcos=4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP=12，则点P的轨迹方程为 .答案 =3cos8.过点P作倾斜角为的直线与曲线x2
7、+2y2=1交于M，N，则|PM|PN|的最小值为 .答案 二、解答题9.（2008江苏，21）在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.解 由椭圆+y2=1的参数方程为(为参数)，可设动点P的坐标为（cos,sin）,其中02.因此，S=x+y=cos+sin=2=2sin（+）.所以当=时，S取得最大值2.10.（2008宁夏，23）已知曲线C1：(为参数)，曲线C2：(t为参数).（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线,.写出,的参数方程. 与公共
8、点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由.解 (1)C1是圆,C2是直线.C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1. C2的普通方程为x-y+=0.因为圆心C1到直线x-y+=0的距离为1,所以C2与C1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为: (为参数), : (t为参数),化为普通方程为:x2+4y2=1, :y=x+,联立消元得2x2+2x+1=0,其判别式=(2)2-421=0,所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和C1与C2公共点的个数相同.11.（2008江苏信息卷）经过曲线C：(为参数)的中心作直线l:（t为参数）的垂线，求中心到垂
9、足的距离.解 由曲线C的参数方程消去参数，得(x-3)2+y2=9.曲线C表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆.由直线l的参数方程,消去参数t,得y=x.表示经过原点，倾斜角为30的直线.如图,在直角三角形OCD中，OC=3，COD=30，所以CD=.所以中心到垂足的距离为.12.求圆心为A（2，0），且经过极点的圆的极坐标方程.解 如图所示，设M（，）为圆上的任意一点（点O，B除外），则OM=，MOx=.连结BM，在直角三角形OBM中，cos=，即=4cos.（*）经检验，O（0，），B（4，0）满足方程（*），所以=4cos为所求的圆的极坐标方程.13.O1和O2的极坐标方程分别为=4co
10、s,=-4sin.(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=cos,y=sin,由=4cos,得2=4cos.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为O2的直角坐标方程.（2）由解得或即O1，O2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.14.设点O为坐标原点，直线l:(参数tR）与曲线C：（参数R）交于A，B两点.（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程； （2）求证：OAOB.（1）解 直线l的普通方程为：x-y-4=0.曲线C的普通方程为：y2=4x.（2）证明 设A（x1,y1）,B(x2,y2),由消去y,得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,kOAkOB=-1,OAOB.450