1、高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第23期5.3平面向量的数量积基础自测1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 .答案 2.在边长为1的正三角形ABC中，设=a，=c，=b，则ab+bc+ca= .答案 3.向量a=(cos15,sin15),b=(-sin15,-cos15),则|a-b|的值是 .答案 4.（2009常州市武进区四校高三联考）已知向量a=(2,1),b=(3,) (0),若(2a-b)b,则= .答案 35.(2008浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）（b-c）=0，则|c|的最大值是
2、 .答案 例题精讲例1 已知向量a=，b=且x.（1）求ab及|a+b|，（2）若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.解 （1）ab=cosxcos-sinxsin=cos2x, a+b= (2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1当cosx=时，f(x)取得最小值为-；当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1. 例2 已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).（1）求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的模相等，求-.(其中k为非零实数)（1）证明 (a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|
3、2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与a-b互相垂直.（2）解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),=,又k0,cos()=0，而0,-=.例3设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的范围.解 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，得即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简即得：2t2+15t+70,解得-7t-,当夹角为时，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角，2te1
4、+7e2与e1+te2反向.设2te1+7e2=(e1+te2),0,可求得，所求实数t的范围是. 巩固练习1.向量a=(cos23,cos67),向量b=(cos68,cos22).(1)求ab；（2）若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的最小值.解 （1）ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23sin22+sin23cos22=sin45=.（2）由向量b与向量m共线，得m=b(R），u=a+m=a+b=(cos23+cos68,cos67+cos22) =（cos23+sin22，sin23+cos22），|u|2=(cos23+sin22)2+(sin23+c
5、os22)2=2+1= +，当=-时，|u|有最小值为.2.已知平面向量a=,b=(-,-1).(1)证明：ab;(2）若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy，试把k表示为t的函数.(1)证明 ab=(-)+(-1)=0,ab.(2)解 xy,xy=0,即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0.展开得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0,ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2(t2-2)=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).3.设a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，且a与b具有关系|k
6、a+b|=|a-kb|(k0).（1）用k表示ab；（2）求ab的最小值，并求此时a与b的夹角.解 （1）|ka+b|=|a-kb|，(ka+b)2=3(a-kb)2，且|a|=|b|=1，即k2+1+2kab=3(1+k2-2kab)，4kab=k2+1.ab=(k0）.（2）由（1）知：k0ab= =.ab的最小值为(当且仅当k=1时等号成立)设a、b的夹角为，此时cos=.0,=.故ab的最小值为，此时向量a与b的夹角为.回顾总结知识方法思想课后练习一、填空题1.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足= =，则点O是ABC的 心.答案 垂2.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与
7、b的夹角为60,则ab+bb的值为 .答案 53.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为 .答案 4.若a与b-c都是非零向量，则“ab=ac”是“a（b-c）”的 条件.答案 充要5.已知a，b是非零向量，且满足（a-2b）a，（b-2a）b，则a与b的夹角是 .答案 6.（2009成化高级中学高三期中）已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a(b+c)= .答案 7.（2008天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD中，=（1，2），=（-3，2），则= .答案 38.（2008 江西理，13）直角坐标平面内三点A（1，2）、B（3，
8、-2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则= .答案 22二、解答题9.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：（a-b）c; (2)若|ka+b+c|1 (kR)，求k的取值范围.（1）证明 （a-b）c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,（a-b）c.（2）解.|ka+b+c|1|ka+b+c|21k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c的夹角均为120,a2=b2=c2=1，ab=bc=ac=-，k2+1-2k1,即k2-2k0,k2或k0.10.已知a
9、=,且.（1）求的最值；（2）若|ka+b|=|a-kb| (kR),求k的取值范围.解 （1）ab=-sinsin+coscos=cos2， |a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos2=4cos2.，cos，|a+b|=2cos.= =cos-.令t=cos,则t1,=1+0,t-在t上为增函数.-t-，即所求式子的最大值为，最小值为-.（2）由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2,(ka+b)2=3(a-kb)2又|a|=|b|=1,ab=cos2，cos2=.由，得-cos21.-1.解得k2-，2+-1.11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与
10、b=2n-3m的夹角.解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得mn=.则有|a|=|2m+n|=.|b|=.而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6m2+2n2=-，设a与b的夹角为，则cos=-.故a，b夹角为120.12.已知向量a=,x.若函数f(x)=ab-|a+b|的最小值为-，求实数的值. 解 |a|=1，|b|=1，x，ab=coscos-sinsin=cos2x，|a+b|=2=2cosx. f（x）=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=2 -1，cosx0，1. 当0时，取cosx=0,此时f(x)取得最小值，并且f(x)min=-1-,不合题意.当04时，取cosx=,此时f(x）取得最小值，并且f(x)min=-1=-,解得=2.当4时，取cosx=1,此时f(x)取得最小值，并且f(x)min=1-=-,解得=,不符合4舍去,=2.152