1、高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式 总第32期7.2 一元二次不等式及其解法基础自测1.下列结论正确的是 .不等式x24的解集为x|x2，不等式x2-90的解集为x|x3，不等式(x-1)22的解集为x|1-x1+，设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2,则不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx2答案 2.（2007湖南理）不等式0的解集是 .答案 （-1，23.（2008天津理）已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .答案 x|x-14.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)1对任意实数x成立,则a的取值范
2、围是 .答案 -a5.(2008江苏，4)A=x|(x-1)23x-7，则AZ的元素的个数为 .答案 0例题精讲 例1 解不等式(x2-9)-3x.解 原不等式可化为-x2+x2-3x,即2x2-3x-70.解方程2x2-3x-7=0,得x=.所以原不等式的解集为.例2 已知不等式ax2+bx+c0的解集为(,),且0,求不等式cx2+bx+a0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为(，)可得a0,，为方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可得a0,由得c0,则cx2+bx+a0可化为x2+0,得=-0,由得=0,、为方程x2+x+=0的两根.0,不等式cx2+bx+a0的解集为.
3、方法二 由已知不等式解集为(,),得a0,且，是ax2+bx+c=0的两根，+=-,=,cx2+bx+a0x2+x+10()x2-(+)x+10(x-1)(x-1)00.0,x或x,cx2+bx+a0的解集为.例3 已知不等式0 (aR).(1)解这个关于x的不等式; (2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0.当a=0时,由-(x+1)0,得x-1;当a0时,不等式化为(x+1)0,解得x-1或x;当a0时,不等式化为(x+1)0;若-1,即-1a0,则x-1;若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若-1,即a-1,则-1x.综上所述,
4、 a-1时,解集为;a=-1时,原不等式无解;-1a0时,解集为;a=0时,解集为x|x-1;a0时,解集为.(2)x=-a时不等式成立,0,即-a+10,a1,即a的取值范围为a1.例4已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1，+）时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a, 当a(-,-1)时，结合图象知,f（x)在-1，+）上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina,即2a+3a,解得a-3,又a-1,-3a-1 当a-1，+）时，f(x)min=f(a)=2-a2
5、,由2-a2a,解得-2a1,又a-1,-1a1.综上所述，所求a的取值范围为-3a1.方法二 由已知得x2-2ax+2-a0在-1，+）上恒成立，即=4a2-4（2-a）0或,解得-3a1.巩固练习 1.解下列不等式：（1）-x2+2x-0;(2)9x2-6x+10.解 （1）-x2+2x-0x2-2x+03x2-6x+20=120,且方程3x2-6x+2=0的两根为x1=1-,x2=1+,原不等式解集为.(2)9x2-6x+10(3x-1)20.xR,不等式解集为R.2.已知关于x的不等式（a+b）x+(2a-3b)0的解集为，求关于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)0的解集.解：（a
6、+b）x+(2a-3b)0的解集是,于是a=2b0,b0,不等式(a-3b)x+(b-2a)0,即为-bx-3b0,亦即-bx3b,x-3.故所求不等式的解集为x|x-3.3.解关于x的不等式0 （aR）.解 0(x-a)(x-a2)0,当a=0或a=1时，原不等式的解集为；当a0或a1时，aa2，此时axa2;当0a1时，aa2，此时a2xa.综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa;当a=0或a=1时，原不等式的解集为.4.函数f（x）=x2+ax+3.(1)当xR时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.(2)当x-2,2时,f(x)a恒成
7、立,求a的取值范围.解 (1)xR时,有x2+ax+3-a0恒成立,须=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120,所以-6a2.(2)当x-2,2时,设g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三种情况讨论(如图所示):如图(1),当g(x)的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有=a2-4(3-a)0,即-6a2.如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x-2,+)时,g(x)0,即即解之得a.如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0,即即-7a-6综合得a-7，2.回顾总结知识方法思想课后作业 一、填空题1.函数y=的定义域是 .答案 -,-1）（1，2.不等式0
8、的解集是 .答案 (-2,1)(2,+)3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是 .答案 m-4.若关于x的不等式：x2-ax-6a0有解且解区间长不超过5个单位，则a的取值范围是 .答案 -25a-24或0a15.(2009启东质检)已知函数f(x）的定义域为（-，+），f(x)为f(x)的导函数，函数y=f(x)的图象如右图所示，且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)1的解集为 .答案 (2,3)(-3,-2)6.不等式组的解集为 .答案 x|0x17.若不等式2xx2+a对于任意的x-2，3恒成立，则实数a的取值范围为 .
9、答案 (-,-8)8.已知x|ax2-ax+10=,则实数a的取值范围为 .答案 0a4二、解答题9.解关于x的不等式56x2+ax-a20.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0,即0.当-,即a0时,-x;当-=,即a=0时,原不等式解集为;当-,即a0时, x-.综上知:当a0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为.10.已知x2+px+q0的解集为，求不等式qx2+px+10的解集.解 x2+px+q0的解集为,-,是方程x2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得,不等式qx2+px+10可化为-,即x2-x-60,-2x3,不等式q
10、x2+px+10的解集为x|-2x3.11.若不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的所有m都成立，求x的取值范围.解 方法一 原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)0.令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2m2).则解得x.方法二 求已知不等式视为关于m的不等式，（1）若x2-1=0，即x=1时，不等式变为2x-10,即x,x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x2-10时，使m对一切|m|2恒成立的充要条件是2,1x.(3)当x2-10时，使m对一切|m|2恒成立的充要条件是-2.x1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为.12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x(-2,6)时，其值为正，而当x(-,-2)(6,+）时，其值为负.（1）求实数a,b的值及函数f(x)的表达式；（2）设F（x）=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时，函数F（x）的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，,f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1) =kx2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k0时，若F(x)的值恒为负值，则有,解得k-2.