1、第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示基础练习 1下列各量中是向量的有_（A）动能 （B）重量 （C）质量 （D）长度 （）作用力与反作用力 （）温度解：A，C，D，只有大小没有方向，而和既有大小又有方向，故为向量2判断下列命题是否正确若不正确，请简述理由向量与是共线向量，则，四点必在一直线上单位向量都相等任一向量与它的相反向量不相等共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解：不正确可能平行但不共线不正确方向不一定相同不正确零向量不正确两个同向且模相等的向量3回答下列问题，并说明理由（1）平行向量的方向一定相同吗？（2）共线向量一定相等吗？（3）相等向量一定共线吗？不相等的向量一定不共线吗
2、？解：（1）平行向量的方向不一定相同可能方向相反（2）不一定，大小不一定相等（3）相等向量必共线，不相等的可以是不共线的也可以是共线的4命题“若则”（ ）A总成立 B当时成立C当时成立 D当时成立解：C5已知正六边形（见图），在下列表达式中：；与相等的有_解：7.2 向量的加减法1若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”，依此规定，能说明 “线性相关”的实数是依次可以取_ （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）解：（只要符合这个比例就行）2已知矩形ABCD中，宽为2，长为，试作出向量，并求出其模的大小解：3设，为两个相互垂直的单位向量已知若为等边三角形，则，的取值为（
3、）ABCD解：C4若、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）A1B2C3D4解：C5设表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”说明下列向量的意义（1） （2） （3）解：（1）表示向东走（2）表示向西南走（3）表示向东南走6在图的正六边形中，求解：；7.3实数与向量的乘法1已知向量是两非零向量，在下列四个条件中，能使，共线的条件是（ ）2且；存在相异实数、，使； （其中实数、满足）；已知梯形中，其中、A B C D解：A2判断下列命题的真假：（1）若与是共线向量，则，四点共线（2）若，则，三点共线（3），则（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的
4、线性组合表示解：四个命题均是错误的3已知中是上的一点，且，试求证：证明：，则由向量求和的三角形法则知（参见题3解析图）：再由+得：则4已知试判断与是否共线解：由于则与共线5已知在四边形中，求证：四边形是梯形证明：参见题5解析图，显然又点不在上，则，则四边形是梯形6已知是平面上三个不同的点，且满足关系式，求实数的取值范围解：由题：在椭圆上设，则=，其中则7已知梯形中，分别是、的中点，若，用表示解：参见解析图，（1）（2）（3）8四边形是一个梯形，且，分别是和的中点，已知，试用表示和解：9已知是不共线的非零向量，其中为常数，若，求，的值解：10设是不共线的两个非零向量，其中，均为实数，若三点共线，
5、求证：证明：由于三点共线，则存在实数，使得，则，由于不共线，则，则11在中，与交点为设，试用向量表示解：由于与共线，则，则又与共线，则，则由，得由于与不共线，则即解方程组得，将它们代入式得12在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，若且，则求出点所有可能的位置所构成的区域面积解：作，为中点，则在内，面积为7.4向量的数量积1已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）； 反向； ABCD解：错，所以选C2已知向量为相互垂直的单位向量，求解：3如图所示，已知平行四边形，求解：4设，求与的夹角的余弦值解：96=，5已知，当时，求实数的值解：6已知不共线向量，且向量与垂直求：与的夹角的余弦值
6、解：7已知，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？解：8在中，已知，求解：9在中，且，则的形状是_解：，故是钝角三角形10已知向量，若向量，则实数的值是_解：11如图7-17，在四边形中，求的值解：=4 12如图7-18，在中，已知，若长为的线段以点为中点问与的夹角为何值时，的值最大？并求出这个最大值解：由于，则由于，则当，即，（与方向相同时），最小，即最大值为13已知中满足，分别是的三边试判断的形状，并求的取值范围解：由于，即，即，是以为直角顶点的直角三角形，则，则的取值范围为14设边长为1的正的边长上有等分点，沿点到点的方向，依次为，若，求证：证明：设，令，则其中，则又由于，则又由于，与的
7、夹角为，则15在中，又，则三边长之比_解：（）16在向量之间，该等式成立，当时，求和的值解：17若中每两个向量的夹角均为，且，求的值解：7.5向量的坐标表示及其运算基础练习1 已知，求的坐标解：列式计算得2设点在内部，且有，求的面积与的面积的比解：3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求顶点的坐标解：由平行四边形性质，易得（2，2）4已知向量为相互垂直的单位向量，设，求的值解：由，易得5已知等腰梯形，其中，且，三个顶点（1，2），（2，1），（4，2），求点的坐标 解：作图，南等腰梯形性质易得，点坐标为（2，4）6如图7-21所示，已知，将绕着点逆时针方向旋转，且模伸长到模的2倍，得到向量求
8、四边形的面积解：7如图722所示，已知四边形是梯形，其中，求点坐标及的坐标解：点坐标为（5，5），坐标为（4，3） 8已知向量与相等，其中，求解：，列式算得 9平面内有三个已知点，求（1）（2）（3）解（1）由于，则，（2）或（3）或10已知向量，且，求解：11已知求和解：12已知两个非零向量和满足，求与的夹角的余弦值解：13已知平面上三个向量均为单位向量，且两两的夹角均为，若，求的取值范围解：，14已知不共线，点分所成的比为，求解： 7.6线段的定比分点公式与向量的应用1在中，若，则=_解：由已知得所以，由余弦定理得2 已知为内一点，且满足，那么_ 解：为重心（参见题2解析图）同理，则3 如
9、图，设为内一点，且，求的面积与的面积之比解：4已知的三顶点坐标分别为，直线，交于，且直线平分的面积，求点坐标 解：因为直线平分的面积，由相似可知：，所以，由定比分点公式可知，所以点坐标为5 已知，且，求点、的坐标解：，所以点的坐标为6点是平面上一定点，是此平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的_心解：表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，由平行四边形法则可知，表示菱形的对角线向量，因此表示角的角平分线向量，又因为，所以表示角的角平分线向量，所以点的轨迹一定通过内心能力提高7设为直角坐标系内、轴正方向上的单位向量，若，且（1）求点的轨迹的方程（2）过定点（0，3）作直线与曲线
10、交于，两点，设，是否存在直线使四边形为正方形？若存在，求出的方程，若不存在说明理由解：（1）由得（2）假设直线存在，显然的斜率存在设由得，由于，则若为正方形，只有即，则则存在且的方程为8（1）已知，求与的夹角（2）设，在上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）由于，则又，则则，则（2）设存在点，且，则则，则，解得或，则或则存在或满足题意9设是两个不共线的非零向量（1）记，那么当实数为何值时，、三点共线？（2）若且与夹角为，那么实数为何值时的值最小？解：（1）三点共线知在在实数，使，即，则，实数（2），则，当时，取最小值10设平面内的向量，点是直线上的一个动点，求当
11、取最小值时，的坐标及的余弦值解：设由于点在直线上，则与共线，而（2，1），则即，有由于，则从而，当且仅当时，取得最小值，此时于是，则11已知向量，向量与向量夹角为，且（1）求向量（2）若向量与向量的夹角为，向量，求的值解：（1）设，由，有由与夹角为，有则由解得或即或（2）由与垂直知，则12已知定点动点满足：（1）求动点的轨迹方程 （2）当时，求的最大值和最小值解：（1）设动点的坐标为，则，则，则若，则方程为，表示过点是平行于轴的直线若，则方程化为：，表示以为圆心，以为半径的圆（2）当时，方程化为，由，则，则的最大值为4，最小值为由于，则，则由于，则令则的最大值为，最小值为13在平行四边形中，点
12、是线段的中点，线段与交于点（1）若，求点的坐标（2）当时，求点的轨迹解：（1）设点坐标为，又，即，则，即点（2）设，则，由于，则平形四边形为菱形则，即则故点的轨迹是以为圆心，2为半圆去掉与直线的两个交点14已和向量，向最与向量的夹角为，且，（1）求向最（2）若且，其中是的内角，若三角形的内角、依次成等差数列，试求的取值范围解：（1）设，则，且则解得，（2），由于，则则，则，由于，则，则第八章 空间直线与平面8.1平面及其基本性质基础练习1用符号语言表示下列语句：（1）点在平面内，但在平面外（2）直线经过平面外一点（3）直线在平面内，又在平面内，即平面和平面相交于直线解：（1）但（2），（3）且
13、，即2已知、是空间三条直线，且与、都相交，求证直线、在同一个平面上证明：设直线n与直线r交于点A，直线6与直线c、交于点B因为，则直线、确定一个平面，设为，则，同理可知，、在直线上，故可知3怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内？解：提示：将桌子的四条腿中在对角线的两条腿分别用细绳相连，若两条细绳相交，则四条腿的下端在同一平面内4如图所示，与不在同一个平面内，如果三直线、两两相交，证明：三直线、交于一点解：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可5已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于，三点，证明：，三点在同一条直线上解：如题5解析
14、图所示，欲证，三点共线，只须证，在平面和平面的交线上，由，都是两平面的公共点而得证6画水平放置的正五边形的直观图解：提示：用斜二侧画法8.2空间直线与直线之间的位置关系基础练习1从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则”的最大值为_解：提示与答案：不能有公共端点，最多4条，由题l解析图可知4条可以2如图，已知三棱锥中，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：证明：由于、三点不共线，则要证，只要证平面，只要证 （如图）又由于，则平面，则是在平面上的射影则只要证 （已知），则4 已知、是两条异面直线，直线上的两点、的距离6，直线上的两点、的距离
15、为8，、的中点分别为、，且，见同求异面直线、所成的角解：如图813，连接，并取的中点，连接、，由于、分别是和的中位线，则，即则、所成的锐角或直角是异面直线、所成的角又由于则在中，又由于，则，则么故异面直线、所成的角是4已知四面体的所有棱长均为求：（1）异面直线，的公垂线段及的长（2）异面直线和所成的角解：（1）构造立方体的内接正四面体，可知，所在面夹的棱即为，由此可知长度等于立方体边长，故（2）与所在正方形边所夹的角即为所求，为5如图，等腰直角三角形中，若且为的中点求异面直线与所成角的余弦值解：取中点，连接，即为所求6如图815，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为，的中点将沿，折成三棱锥以
16、后，求与=所成角的度数解：由于分别为，中点，则，同理，则与所成角的度数等于与所成角的度数由于三棱锥为正三棱锥，则与所成角为，则与所成角的度数为7长方体中，则异面直线与间的距离为_解：以为原点建立空间直角坐标系可得：8空间两条异面直线，所成角，过空间一定点与，所成角都是口的直线，有多少条？解：时，有0条；时，有1条；时，有2条；时，有3条；时，有2条；时，有1条；时，有0条8.3空间直线与平面1如果三个平面、两两相交于三条交线、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论解：平行或者交于一点2在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，求这样的直线条数解：2条3 已知空间四边形，
17、、分别是和的重心，求证：平面证明：取中点且，则平面平面所以平面4在棱长为的正方体中，（1）求证：（2）求证：平面（3）求点到平面的距离解：（1）在平面上投影为，由三垂线定理可得（2）由（1）可知，同理所以平面得证（3）等体积法得：，所以5正方体中，求与平面所成角的大小解：易知，令与交于，与交于，易知，又为直角，则6正方体的棱长为，则异面直线与间的距离等于_解：取中点，连接，与交于，与交于由于，则为与间的垂线7正方形与正方形所在平面相交于，在、上各取一点、，且求证：平面解：在取一点，使得得到：故因为，则平面平面所以平面能力提高8如图，已知在平面上，为平面外一点，满足（为锐角），点在平面上的射影为
18、（1）求证点在的平分线上（2）讨论、之间的关系证明：（1）过点分别作、垂线，垂足分别为、由于平面，平面，又，则平面，则同理，在和，则则，又，则点在的平分线上（2）在直角三角形中在直角三角形中，在直角三角形中，则9若直线与平面成角，直线在平面，且和直线异面，则与所成角的取值范围是多少？解：由直线与面所成角的概念可知，10如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，求证：证明：过点作垂直于点，连由于，则在平面内射影为由于，则在中有在中有在中有由可得 11如图825，平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点连，且，分别是在、上的射影（1）求证：（2）这个图形中有多少个线面垂直关
19、系？（3）这个图形中有多少个直角三角形？（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？解：（1）证明：连接、，如上图所示，由于为已知圆的直径，则由于平面，则由于，则平面由于平面，则由于于，则平面出于于，且是在平面的射影，则（2）由（1）知，平面，平面，平面由于且，则平面，则图中共有4个线面垂直关系（3）由于平面，则、均为直角三角形由于平面，则、均为直角三角形由于平面，则、均为直角三角形由于平面，则、均为直角三角综上，图中共有11个直角三角形（4）由平面知，由平面知，由平面知，由平面知，综上，图中共有11对互相垂直的直线12如图8-26，在正方体中为异面直线与的公垂线，求证：证明：连接，由于，则又，则
20、平面 由于平面，平面，则由于四边形为正方形，则，则平面，而平面，则同理，则平面由、可知：13如图8-27所示，在平面内，是的斜线，求与平面所成的角解：如图8-27所示，过作于连接，则为在面上的射影，为与平面所成的角作由三重线定理可得作，同理可得由，可得，则由于、分别为、在内射影，则所以点在的平分线上设，又，则，则在中，则，即与所成角为8.4空间平面与平面的位置关系1已知平面，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点求证：证明：如题1解析图，连接并延长交于由于，则，确定平面，且由于，所以，则.又，则则又，则故同理2如果，和是夹在平面与之间的两条线段，且，直线与平面所成的角为，求线段长的取值范围解：
21、如题2解析图所示：作于，连接、由于，则在中，由余弦定理，得：由于，是与所在的角又由于，则也就等于与所成的角，即由于，则，则，即则，即长的取值范围为3如图8-35，已知正方体中，、分别为、的中点求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值解：延长、交于一点，设棱长为1，可知，故同理，则即为所求二面角的平面角，易求，其正弦值为4如图8-36，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小解：在射线上取一点，作于，连接，则为射线与平面所成的角（参见题4解析图），则再作，交于，连接，则为在平面内的射影由三垂线定理的逆定理，则为二面角的平面角设，在中，则在中，由于是锐角，
22、则，即二面角等于5正方形边长为4，点是边上的一点，将沿折起到，的位置时，有平面平面，并且（1）判断并证明点的具体位置（2）求点到平面的距离解：如题5解析图（）所示，（1）为边中点连接、交于点，再连，由，且平面平面于，则平面，故，又，则平面，即得，在中，由于，则，则，则，即点为边的中点（2）取的中点，连接、，则，得平面，见题5解析图（），即，又因为，则，又，由于，则，则平面，则，在中，过作于点，则平面，由于，此即得点到平面的距离6在正三角形中，、分别是、边上的点，满足，如图8-37将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接、，如图8-38（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的大小（3）求二面
23、角的大小（用反三角函数表示）解：（1）不妨设正三角形的边长为3，在图8-37中，取中点，连结由于， 则而，则是正三角形，又，则在图8-38中，则为二面角的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，又，则平面，即平面；（2）在图8-38中，不垂直，则是平面的垂线又平面，则从而垂直于在平面内的射影（三垂线定理的逆定理）设在平面内的射影为，且交于点，则就是与平面所成的角，且在中，而，则是等边三角形又平面，则，则为的中点，且，又，在中，则，则直线与平面所成的角为；（3）过作与，连接，由于，则是正三角形则有，则 由于平面，则，则从而 由及为公共边知，则，且，从而为二面角的平面角在中，又则由于，则，则在中，由
24、余弦定理得在中，；则二面角的大小为7如图8-39，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角（1）指出这个二面角的面、棱、平面角（2）若二面角是直二面角，求的长（3）求与平面所成的角（4）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正切值解：（1）由于，则，则二面角的面为和面，棱为，二面角的平面角为（2）若，由于，则，则（3）由于，则平面，则为与平面所成的角在直角三角形中，则，于是（4）取的中点，连接、，由于，则，则为二面角的平面角由于，则，在直角三角形中，则8在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离解：具体解法可按如下几步来求：分别经过和找到两个互相平等的平面；作出两个平行平面的公垂线；计算
25、公垂线夹在两个平等平面间的长度如题8解析图（），根据正方体的性质，易证：平面平面连接，分别交平面和平面于和因为和分别是平面的垂线和斜线，在平面内，由三垂线定理：，同理，则平面，同理可证，平面则平面和平面间的距离为线段长度如图（）所示：在对角面中，为的中点，为的中点则则和的距离等于两平行平面和的距离为9设由一点发出三条射线、，、均为锐角，且求证：平面平面证明：如题9解析图，连接由于，故又由，则，从而可得，即，已作，故平面，即有，已作，从而平面，故平面平面10如图8-40，矩形，平面，若，与平面所成的角为，与平面成角，求：（1）的长（2）求与所成的角（3）求二面角的余弦值解：（1）因为与平面所成的
26、角为，则因为与平面成角，则则（2）因为，与所成的角为，显然（3）11如图8-41，线段分别交两个平行平面、于、两点，线段分别交、于、两点，线段分别交、于、两点，若，的面积为72，求的面积解：由于平面，平面，又由于，则同理可证：则与相等成互补，由，得：，则，由，得：又由于的面积为72，即，12如图8-42，已知正方形、分别是、的中点将沿折起，如图8-43所示，记二面角的大不为（1）求证平面 （2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值解：（1）证明：、分别为正方形两边、之中点，则，且，则四边形为平行四边形则由于平面，而平面则平面（2）解：如图8-43，点在
27、平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接由于为正三角形，则，则由于在的垂直平分线上，则点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角即设原正方体的边长为，连接在折后图的中，即为直角三角形，则在中，则则13在矩形中，已知，平面，且（1）在边上是否存在点，使得，说明理由（2）若边上有且仅有一个点，使，求与平面所成角的正弦值（3）在（2）的条件下，求出平面与平面所成角的大小解：本题第（1）问是一道“是否存在”的探索性问题首先假设存在点，使得，然后根据这个假设进行正确的推理和验证若能找出点在上的位置，说明存在，否则就不存在第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角
28、，通过解三角形求得其值（1）假设存在点，使得由于平面，则设，则由，得即方程： 其判别式为则当时，方程有一解，即存在一个点，使；当时，方程有两解，即存在两个点，使得；当时，方程无实根，即不存在点，使得（2）当边上仅有一个点，使得时，可知，为的中点由于，则平面平面过作，垂足为，则平面，故为和平面所成的角在中，在中，（3）平面与平面所成角的大小为14两个平行平面和将四面体截成三部分已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点和到平面的距离分别为30和20而点和到平面的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点到平面的距离小于24求平面和截四面体所得的截面面积之比解：由已知有一个截面为梯形且
29、平面和平行，可知平面和平行于四面体的一条棱记为到平面的距离若，则，矛盾若，则，矛盾若，则，矛盾若，则，矛盾若，则中间部分的体积大于含棱部分的体积，矛盾所以，如题14解析图所示，由已知不妨设， ；所以，小于，小于，符合题意设平面，平面分别交延长线于，由梅内劳斯定理，所以，所以又因为，8.5空间向量及其坐标表示基础练习 1如图8-50，、分别为，的中点，试用，表示下列向量：解：由于为中点，则由于、为、中点，则，、同理由于，则2已知空间三点，设，是否存在实数，使向量与互相垂直，若存在，求的值；若不存在，说明理由解：由于，则或3菱形的边长为1，若为延长线上任意一点，交于点，求向量与和夹角的大小解：以为
30、原点建立平面直角坐标系，设坐标为则则夹角，则夹角大小为4如图8-51，已知矩形，平面，、分别是、的中点，为，能否确定，使直线是直线与的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由解：以点为原点建立空间直角坐标系设则、则，由于，则即若，则则，而是锐角则即当时，直线是直线与的公垂线5在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且，见图8-52（1）当、在何位置时，（2）是否存在点、，使面？（3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值，并求此时二面角的大小解：（1）以为原点，以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，见题5解析图设，则有，则因此，无论、在何位置均有（2），若面，则得矛盾，故不存在点、，使而（
31、3）当时，三棱锥的体积最大，这时，、分别为、的中点连接交于，则，由三垂线定理知：则是二面角的平面角由于，则，即二面角的大小为8.6 空间直线的方向向量和平面的法向量基础练习1用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理：已知直线垂直平面内两条相交直线、，求证：直线垂直平面证明：设直线、的方向向量分别为、，则对平面内任意一条直线，设其方向向量为因为、不平行，由平面向量唯一分解定理可知存在满足：则，所以直线2如图8-59在长方体中，求二面角的平面角大小解：如图8-59，以为坐标原点建立空间直角坐标系则，易知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为则，取则，即，则此时两个法向量同时远离平面，因此二面角的
32、平面角与法向量的夹角互补而，所以3如图8-60所示，垂直于正方形所在平面，是的中点与夹角的余弦值为（1）建立适当的空间坐标系，写出点的坐标（2）在平面内是否存在一点，使平面？解：（1）以，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设则，从而，得所以点的坐标为（2）由于点在平面内，故可设，由平面得：且，即；所以点的坐标为，即点是的中点时，可使平面8.7 空间向量在度量问题中的应用能力提高 1如图8-67，已知是底面为正方形的长方体，点是上的动点（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并证明你的结论（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值（3）求与平面所成角的正切值的最
33、大值解：（1）由于平面，则都有平面垂直于平面（2）建立空间坐标系解题，异面直线与所成角的余弦值为（3）为与平面所成角所以与平面所成角的正切值的最大值为2如图8-68正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（1）求证：平面（2）设线段，的中点分别为，求证：平面（3）求二面角大小的余弦值解：因等腰直角三角形，所以又因为平面平面，所以平面所以即、两两垂直；如图建立空间直角坐标系，（1）设，则，由于，则，从而，于是，则由于平面，平面，则平面（2），从而于是则，又平面，直线不在平面内，故平面（3）设平面的一个法向量为，并设， 即取，则，从而取平面的一个法向量为，3如图8-69，在正
34、三棱柱中，所有棱的长度都是2，是边的中点，问：在侧棱上是否存在点，使得异面直线和所成的角等于？解：以点为原点，建立如题3解析图所示的空间右手直角坐标系因为所有棱长都等于2，所以，点在侧棱上，可设，则，于是，如果异面直线和所成的角等于，那么向量和的夹角是或，而，所以解得，这与矛盾即在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于4如图8-70，在底面是菱形的四棱锥中，点在上，且（1）证明平面（2）求以为棱，与为面的二面角的大小（3）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论解：（1）证明：因为底面是菱形，所以，在中，由，知同理，所以平面（2）作交于，由平面知平面作于，连接，则，即为二面角的平面角又，所
35、以，从而（3）以为坐标原点，直线、分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系如题4解析图由题设条件，相关各点的坐标分别为，所以，设点是棱上的点，则令得，解得即时，亦即，是的中点时，、共面又平面，所以当是棱的中点时，平面5如图8-71，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形（1）求证：（2）求二面角的大小（3）在直线上是否存在一点使与面成角？若存在确定的位置；若不存在，说明理由解：（1）作面于，连、，则四边形是正方形，且以为原点，以为轴，为轴建立空间直角坐标系如题5解析图，则，则，则（2）设平面的法向量为，则由知：；同理由知：可取同理，可求得平面的一个法向量为由图可以看出，三面角的大小应等于则，即所求二面角的大小是（3）设是线段上一点，则，平面的一个法向量为，要使与面成角，由图可知与的夹角为所以则，解得，则故线段上存在点，且时，与面成角