1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交()(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切()(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解()答案(1)(2)(3)题型一 直线与圆的位置关系的判定【典例1】已知圆C：x2y21与直线ykx3k，当k为何值时，直线与圆 (1)相交； (2)相切； (3)相离. 解解法一(代数法)：联立消去y, 整理得(k21)x26k2x9k210. (6k2)24(k21)(9k21) 32k244(
2、18k2). (1)当直线与圆相交时，0，即k.(2)当直线和圆相切时，0，即k. (3)当直线和圆相离时，0, 即k.解法二(几何法)：圆心(0,0)到直线ykx3k的距离d.由条件知，圆的半径为r1. (1)当直线与圆相交时，dr, 即1，得kr, 即1，得k.直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系针对训练1(1)直线xky10与圆x2y21的位置关系是()A相交B相离C相
3、交或相切D相切 (2)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析(1)由直线xky10恒过定点(1,0), 而(1,0)恰在圆x2y21上， 故直线与圆至少有一个公共点， 故选C. (2)当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2y21没有公共点， 故可设直线y1k(x)，即kxyk10，圆心到直线的距离1，解得0k，即0tan，即0.答案(1)C(2)题型二 圆的切线问题【典例2】过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程思路导引设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，注意斜率不存在的情况解因为(43)2(31)2171
4、，所以点A在圆外(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)即kxy34k0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.(1)过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式yy0k(xx0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一
5、条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程(2)一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1k21(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用dr(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式针对训练2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.题型三 弦长问题【典例3】(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_(2)如
6、果一条直线经过点M且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程解析(1)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22.(2)圆x2y225的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l8，所以弦心距d 3.因为圆心O(0,0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3是符合题意的一条直线设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k.故直线的方程为3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y150.答案(1)(2)x3和3x4y150求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：
7、将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在)(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.通常采用几何法较为简便针对训练3已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长解 (1)证明：l：kxyk20，直线l可化为y2k(x1)，直线l经
8、过定点(1,2)，(1)222r3.答案D2已知圆x2y2DxEyF0与y轴切于原点，那么()AD0，E0，F0BD0，E0，F0CD0，E0，F0DD0，E0，F0解析与y轴切于原点，则圆心为(D0)，得E0，圆过原点得F0，故选C.答案C3圆x2y24x4y60截直线xy50所得弦长等于()A.B. C1D5解析分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得答案A4圆x2y22x4y30上到直线l：xy10的距离为的点有()A1个B2个 C3个D4个解析通过画图可知有三个点到直线xy10距离为.答案C课后作业(二十五)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1直线3x4
9、y250与圆x2y29的位置关系为()A相切 B相交C相离 D相离或相切解析 圆心到直线的距离d53，直线与圆相离答案C2过圆x2y24上的一点(1，)的圆的切线方程是()Axy40 B.xy0 Cxy0 Dxy40解析 过圆心与点(1，)的直线的斜率为，所以过点(1，)的圆的切线方程的斜率为，所以切线方程为y(x1)，即xy40.答案A3圆心坐标为(2，1)的圆在直线xy10上截得的弦长为2 ，那么这个圆的方程为()A(x2)2(y1)24 B(x2)2(y1)22C(x2)2(y1)28 D(x2)2(y1)216解析圆心到直线的距离d.R2d2()24，R2.圆的方程为(x2)2(y1)
10、24.答案A4圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10 C15 D20解析由题意可知，圆的圆心坐标为(1,3)，半径为，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|22(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|BD|2210.答案B5若直线axby30和圆x2y24x10相切于点P(1,2)，则ab的值为()A3 B2 C2 D3解析圆x2y24x10化为标准方程为(x2)2y25，圆心坐标为
11、(2,0)因为直线axby30和圆x2y24x10相切于点P(1,2)，所以解得a1，b2，所以ab的值为2.答案C6已知P(x，y)|xy2，Q(x，y)|x2y22，那么PQ为_解析解方程组得xy1.PQ(1,1)答案(1,1)7圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_解析先由圆心与P的连线与切线的垂直关系求得切线斜率为，则过(1，)切线方程为xy20.答案xy208P(3,0)为圆C：x2y28x2y120内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是_解析过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为1，则可得直线方程为xy30.答案xy309已知圆C经过点A(5，2)和B(3,2)，且
12、圆心C在直线l1：xy20上(1)求圆C的标准方程；(2)已知过点M(3，3)的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程解(1)AB的垂直平分线方程为y0(x4)，即x2y40，由解得圆心C(0，2)又r2|CA|225，圆C的标准方程为x2(y2)225.(2)当l2的斜率不存在时，l2：x3满足题意；当l2的斜率存在时，设l2：y3k(x3)，即kxy3k30.直线l2被圆C所截得的弦长为8.圆心C到直线l2的距离d3，解得k.l2的方程为4x3y210.综上所述，l2的方程为x3或4x3y210.10在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(，1)，点B是x轴上一点，ABOA，OA
13、B的外接圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)求圆C在点A处的切线方程解(1)设B(a,0)，由kOAkAB1，得a，圆C以OB为直径，C，r，圆C的方程为2y2.(2)kAC，切线方程为y1(x)，即xy20.应试能力等级练(时间25分钟)11从点P(x,3)向圆(x2)2(y2)21作切线，切线长度最短为()A4 B2 C5 D.解析由题可得切线长l，当x2时，切线长的最小值为2，故选B.答案B12已知圆O：x2y2r2，点P(a，b)(ab0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为axbyr20，那么()Al1l2，且l2与圆O相离Bl1l2，且l2与圆O相切
14、Cl1l2，且l2与圆O相交Dl1l2，且l2与圆O相离解析点P(a，b)在圆O内部，|r|，l2与圆O相离答案A13已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.解析圆心C(1，a)到直线axy20的距离为.因为ABC为等边三角形，所以|AB|BC|2，所以21222，解得a4.答案414已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解设圆心坐标为(3m，m)，圆C和y轴相切，圆C的半径为3|m|.圆心到直线yx的距离为|m|，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m272m2，m1.所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.15已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的倾斜角解(1)证明：由已知得直线l：y1m(x1)，所以直线l恒过定点P(1,1)，因为1215，所以点P在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得(m21)x22m2xm250，则x1，x2是一元二次方程的两个实根，x1x2，x1x2.因为|AB|x1x2|，即，所以m23，m，所以直线l的倾斜角为60或120.