1、学案4习题课：圆周运动学习目标定位 1.熟练掌握圆周运动各物理量的关系.2.熟练掌握向心力、向心加速度的公式.3.会分析圆周运动所需向心力的来源.4.会分析轻绳、轻杆模型在竖直面内圆周运动的临界问题一、描述圆周运动的各物理量间的关系1线速度v、角速度以及周期T之间的关系：vr.2角速度与转速n的关系：2n(注：n的单位为r/s)二、匀速圆周运动1特征：(1)线速度的大小不变，方向时刻改变(2)向心力大小不变，方向始终指向圆心(3)向心加速度大小不变，方向始终指向圆心2向心力：Fmm2rmr.3向心加速度：a2rr.一、描述圆周运动的各物理量间的关系描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、转
2、速等，它们之间的关系为：2n，vrr2rn，这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系式中各量是瞬时对应的图1例1如图1，光滑的水平面上固定着一个半径在逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是()A周期B线速度C角速度D向心加速度解析轨道对小球的支持力与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B错误；根据vr知，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度增大，故C错误；根据T，角速度增大，故周期减小，故A正确；根据a，转动半径减小，故向心加速度增大，故D错误答案A
3、二、向心力的来源分析向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的合外力或某个力的分力，但只有在匀速圆周运动中，向心力才等于物体所受的合外力，在变速圆周运动中，向心力不等于物体所受到的合外力，而是等于物体沿圆心方向的合外力图2例2如图2所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则()A物块始终受到三个力作用B物块受到的合外力始终指向圆心C在c、d两个位置，物块所受支持力N有最大值，摩擦力f为零D在a、b两个位置物块所受摩擦力提供向心力，支持力Nmg解析物块在竖直平面内
4、做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d两点物块所受的向心力由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故A错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确设物块做匀速圆周运动的线速度为v，物块在c、d两位置摩擦力f为零，在c点有Ncmg，在d点有Ndmg，故在d位置N有最大值，C错误在b位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有Nmg，f，同理，在a位置也如此，故D正确答案BD三、竖直面内的“绳杆模型”的临界问题1轻绳模型(如图3所示)图3(1)绳内(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)(2)在最高点的动力学方程
5、Tmgm.(3)在最高点的临界条件T0，此时mgm，则v.v时，拉力或压力为零v时，小球受向下的拉力或压力v时，小球不能达到最高点即轻绳的临界速度为v临.2轻杆模型(如图4所示)图4(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力(2)在最高点的动力学方程当v时，Nmgm，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大当v时，mgm，杆对球无作用力当v时，mgNm，杆对球有向上的支持力当v0时，mgN，球恰好到达最高点(3)杆类的临界速度为v临0.图5例3如图5所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴O连接试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下在竖
6、直平面内做匀速圆周运动g取10 m/s2，求：(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？解析(1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大在最高点：F1mgm2r在最低点：F2mgm2rF23F1联立以上方程解得 20 rad/s(2)小球随试管转到最高点时，当mgm2r时，小球会与试管底脱离，即.答案见解析图6针对训练如图6所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动球转到最高点A时，线速度的大小为 ，此时()A杆受到mg的
7、拉力B杆受到mg的压力C杆受到mg的拉力D杆受到mg的压力答案B解析以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，则Nmg，将v 代入上式得Nmg，即小球在A点受杆的弹力方向竖直向上，大小为mg，由牛顿第三定律知杆受到mg的压力图71(圆周运动各物理量的关系)如图7所示，靠摩擦传动匀速转动的大小两轮接触面互不打滑，大轮的半径是小轮的2倍，A、B分别为大小两轮边缘上的点则轮上A、B两点()A线速度的大小相等B角速度相等C向心加速度相等D周期相等答案A解析两轮子靠摩擦传动，线速度大小相等，故A正确；线速度大小相等，大轮的半径是小轮的2倍，根据vr可知，小轮的角速度是大
8、轮的2倍，故B错误；线速度大小相等，大轮的半径是小轮的2倍，根据a可知，A的向心加速度是B的2倍，故C错误；线速度大小相等，大轮的半径是小轮的2倍，根据v可知，大轮的周期是小轮的2倍，故D错误2(向心力来源分析)如图8所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30，重力加速度为g，估算该女运动员()图8A受到的拉力约为GB受到的拉力约为2GC向心加速度约为3gD向心加速度约为2g答案B解析女运动员做圆锥摆运动，女运动员受到重力、男运动员对女运动员的拉力F，竖直方向合力为零，由Fsi
9、n 30G，解得F2G，故A错，B对水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力，有Fcos 30ma即2mgcos 30ma，所以ag，故C、D错图93(竖直面内的“绳杆模型”的临界问题)如图9所示，一质量为0.5 kg的小球，用0.4 m长的细线拴住，在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，求：(1)当小球在圆周最高点速度为4 m/s时，细线的拉力是多少？(2)当小球在圆周最低点速度为6 m/s时，细线的拉力是多少？(3)若绳子能承受的最大拉力为130 N，则小球运动到最低点时速度最大是多少？答案(1)15 N(2)50 N(3)10 m/s解析(1)设小球在最高点时细线的拉力为T1，则T1
10、mgm得：T1mmg15 N(2)设小球在最低点时细线的拉力为T2，则有：T2mgm，得：T2mgm50 N(3)由T3mgm，T3130 N，可得：v310 m/s.题组一圆周运动的各物理量的关系1关于匀速圆周运动，下列说法正确的是()A由a可知，a与r成反比B由a2r可知，a与r成正比C由vr可知，与r成反比D由2n可知，与n成正比答案D解析物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论正确选项为D.图
11、12如图1所示，一小物块以大小为a4 m/s2的向心加速度在水平面内做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是()A小物块运动的角速度为2 rad/sB小物块做圆周运动的周期为 sC小物块在t s内通过的位移大小为 mD小物块在 s内通过的路程为零答案AB解析因为a2R，所以小物块运动的角速度为2 rad/s，周期T s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移为 m，在 s内转过一周，通过的路程为2 m，选项C、D错误3A、B两小球都在水平地面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为()
12、A11 B21 C41 D81答案D解析由题意知A、B两小球的角速度之比ABnAnB21，所以两小球的向心加速度之比aAaBRARB81，D正确4如图2所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点的()图2A角速度之比AB11B角速度之比AB1C线速度之比vAvB1D线速度之比vAvB1答案AD解析板上A、B两点绕同一个转轴转动，所以具有相同的角速度，即角速度之比AB11，故A正确，B错误根据几何关系得板上A、B两点的轨道半径之比为1，所以线速度之比vAvB1，故C错误，D正确0.题组二向心力来源分析图35如图3，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO匀速转动，下列关
13、于小球的说法中正确的是()A小球受到重力、弹力和静摩擦力B小球受到重力、弹力和向心力C小球向心力的方向沿着水平方向指向圆心D小球受到重力、弹力的合力是恒力答案C解析小球受重力、弹力，这两个力的合力提供向心力，向心力的方向始终沿着水平方向指向圆心，所以合力不是恒力故C正确，A、B、D错误图46如图4所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能()A沿F1的方向 B沿F2的方向C沿F3的方向 D沿F4的方向答案C解析小球做匀速圆周运动，根据小球受到的合力提供向心力，则
14、小球受的的合力方向必指向圆心，小球受到竖直向下的重力，还有轻杆的作用力，由题图可知，轻杆的作用力如果是F1、F2、F4，则与重力的合力不可能指向圆心，只有轻杆的作用力为F3方向，与重力的合力才可能指向圆心，故A、B、D错误，C正确图57如图5所示，两个水平摩擦轮A和B传动时不打滑，半径RA2RB，A为主动轮当A匀速转动时，在A轮边缘处放置的小木块恰能与A轮相对静止若将小木块放在B轮上，为让其与轮保持相对静止，则木块离B轮转轴的最大距离为(已知同一物体在两轮上受到的最大静摩擦力相等)()A.B.CRBDB轮上无木块相对静止的位置答案B解析摩擦传动不打滑时，两轮边缘上线速度大小相等，根据题意有：R
15、AARBB所以：BA因为同一物体在两轮上受到的最大静摩擦力相等，设在B轮上的转动半径最大为r，则根据最大静摩擦力等于向心力有：mRAmr得：r图68如图6所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连当转盘以角速度转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动当转盘转速增到原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M()A所受向心力变为原来的4倍B线速度变为原来的C转动半径r变为原来的D角速度变为原来的答案B解析转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于m的重力，所以向心力不变，故A错误转速增到原来的2
16、倍，则角速度变为原来的2倍，根据Fmr2，向心力不变，则r变为原来的.根据vr，线速度变为原来的，故B正确，C、D错误题组三竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题图79如图7所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m，小球质量为3 kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a的速度为va4 m/s，通过轨道最高点b的速度为vb2 m/s，取g10 m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是()A在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126 NB在a处为压力，方向竖直向上，大小为126 NC在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6 ND在b处为压力
17、，方向竖直向下，大小为6 N答案AD解析小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力大小在a点设细杆对球的作用力为Fa，则有Famg，所以Famg(30) N126 N，故小球对细杆的拉力为126 N，方向竖直向下，A正确，B错误在b点设细杆对球的作用力方向向上，大小为Fb，则有mgFb，所以Fbmg30 N N6 N，故小球对细杆的作用力为压力，方向竖直向下，大小为6 N，C错误，D正确10如图8所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()图8A0
18、 B. C. D.答案C解析由题意知Fmg2mgm，故速度大小v，C正确图911如图9所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是()A小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下B小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上C小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上D小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力答案ACD图1012杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图10所示，若“水流星”通过最高点时的速率
19、为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析水流星在最高点的临界速度v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.图1113如图11所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法正确的是()Av的最小值为Bv由零逐渐增大，向心力也增大C当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D当v由
20、逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大答案BCD解析由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的最小值是零，A错；v由零逐渐增大，由F向可知，F向也增大，B对；当v时，F向mg，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v由逐渐增大时，则mgF，故Fmmg，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v由逐渐减小时，杆对球的力为支持力此时，mgF，Fmg，支持力F逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，所以C、D也对，故选B、C、D.14质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动g10 m/s2，求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力答案(1)3 m/s(2)6 N，方向竖直向上1.5 N，方向竖直向下解析(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mgm，解得v03 m/s.(2)v1v0，由牛顿第二定律得：mgF1m，由牛顿第三定律得：F1F1，解得F16 N，方向竖直向上v2v0，由牛顿第二定律得：mgF2m，由牛顿第三定律得：F2F2，解得：F21.5 N，方向竖直向下