1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时基本不等式的应用目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题重点 利用基本不等式求最值问题难点 利用基本不等式解决实际问题知识点一 基本不等式与最值 填一填已知x，y都是正数，(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.答一答1利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：各项均为正数；含变数的各项的和(或积)必须是常数；当含变数的各项均相
2、等时取得最值三个条件可简记为：一正、二定、三相等这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小2在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值3两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定应用基本不等式求最值时还要求等号能取到知识点二解答不等式应用题的步骤 填一填(1)阅读、理解材料：应用题所用语言多为文字语言、符号语言、图形语言并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，理解材料要达到的目的是明确将实际问题建成何种数学
3、模型的思路，明确解题方向(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知问题的对应关系，以便确立下一步的努力方向(3)讨论不等式关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出最后的结论答一答4利用基本不等式求解实际问题中的关键是什么？提示：对实际应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好目标函数关系式是求最值的基本保证，解决实际问题的一般步骤如下：类型一 利用基本不等式求最值例1(1)若x0，求y4x的最小
4、值；(2)设0x2，求x的最小值；(4)已知x0，y0，且1，求xy的最小值分析利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解解(1)x0，由基本不等式得y4x2212，当且仅当4x，即x时，y4x取最小值12.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时取“”y的最大值为.(3)x2，x20，x(x2)2226.当且仅当x2，即x4时，x取最小值6.(4)x0，y0，1，xy(xy)1010216.当且仅当且1时等号成立即x4，y12时等号成立当x4，y12时，xy有最小值16.(1)应用基本不等式需注意三个条件：即
5、一正、二定、三相等.在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.(2)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式.(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.变式训练1(1)(6a3)的最大值为(B)A9 B.C3 D.(2)若a，bR，ab0，则的最小值为4.解析：(1)解法1：因为6a3，所以3a0，a60，则由基本不等式，知，当且仅当a时等号成立解法2：，当且仅当a时等号成立
6、(2)a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号故的最小值为4.类型二 利用基本不等式解决实际问题例2某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1(0x10，k为常数)若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用(总费用隔热层的建造成本费用使用15年的能源消耗费用15年的总维修费用)(1)求y2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值解(1)依题意，当x0时
7、，y16，6，k30.故y1，y24x15104x10(0x10)(2)y24x10(4x10)2(2x5)260，当且仅当2(2x5)，即x5时y2取得最小值，最小值为60，隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.
8、变式训练2特殊运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解：(1)设所用时间为t(小时)，y6140(50x100)所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y，50x100.(2)y，当且仅当，即x4时，等号成立故当x4千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元类型三 基本不等式的综合应用例3(1)若4x1，则函数yx的最小值为_分析(2)思路1：首先注意到x是我们熟悉的“
9、对勾”函数，但本例并不能单纯去求它的最小值，因为还有，必须把x和综合起来求解才行将变形为，然后把x看作一个整体进行求解思路2：当涉及分式的情形时，通分是最容易想到的常规方法，通分后x，利用基本不等式即可求解解析(1)，4x1，5x11)，则u2，所以yu8，当且仅当u，即u4，x2时等号成立方法2：yx28，当且仅当，即x2时等号成立答案(1)D(2)8利用基本不等式求最值的常用方法：(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值(2)构造法：构造不等式：利用ab()2将式子转化为含ab或ab的不等式，再将ab、(ab)视为整体求范围
10、构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值(3)函数法：当利用基本不等式时等号不能成立，则将待求式看成函数关系结合函数的相关性质求最值变式训练3(1)已知正实数a，b满足a2b1，则(1)(2)的最小值为18.(2)已知a，b为正实数，且ab1，则的最小值为.解析：(1)因为(1)(2)222，又1a2b2，所以ab，即222818，当且仅当a2b，即a，b时取等号(2)本题考查基本不等式的应用利用基本不等式求解.aab12，又ab1，a0，b0，所以ab122，当且仅当时取等号，所以的最小值为.1如果a0，那么a2的最小值是(D)A2 B2C3 D4
11、解析：a222224，当且仅当a，即a1时等号成立2如果ab1，那么ab的最大值是(B)A. B.C. D1解析：由于求ab的最大值，只考虑a，b0时即可ab1，12，解得ab，当且仅当ab时取等号，那么ab的最大值是.3已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(B)A2 B4C6 D8解析：不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则(xy)(1)29，2，即a4，故正实数a的最小值为4.4已知0x0)因为x24，所以ymin80204160(元)本课须掌握的三大问题1基本不等式成立的条件：a0且b0；其中等号成立的条件：当且仅当ab时取等号，即若ab时，则，即只能有0)的性质求得函数的最值3求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答- 13 - 版权所有高考资源网
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