1、2022中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)ABDyCOEx例6 如图，点A的坐标为（0，4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m（1）当t3时，求点C的坐标；（2）当t0时，求m与t之间的函数关系式；（3）是否存在t，使点M（2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由解析：（1）过点C作CFx轴于F则CFBBOA，得CFBO3，FBOA4ABDyCOEx图1点C的坐标为（1，3
2、）（2）当0t 4时，点E为y轴的正半轴与BC边的交点，如图1易证BOEAOB，得 即 ，m t 2当t 4时，点E为y轴的正半轴与CD边的交点，如图2易证EDAAOB，得 而DAAB，AB 2OBEA即4 2t 2t( m4)，mt 4ABDyCOEx图2（3）存在当t 0时正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴），此时不存在当0t 4时若点M在BC边上，有 解得t2或t4（舍去）若点M在CD边上，有 解得t2或t4当t 4时若点M在CD边上，有 解得t2（舍去）或t4（舍去）若点M在AD边上，有 解得t12综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、12例7 如图，点P是正方形ABCD边AB上
3、一动点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF（1）求证：ADPEPB；（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由APCPFPBPEPDP（3）当 的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，A90ADPAPD90DPE90，APDEPB90ADPEPB（2）不能设APx（0x 4）APBF90，ADPFPBADPBPF， ， BF x 2x ( x2)21当x2（即P为AB中点）时，BF有最大值1点F不能为边BC的中点（3
4、）假设PFDBFP，则 ADPBPF， ，PBAP当 时，PFDBFP例8 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB2AE4将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（060）（1）如图2，当BEA120时，求DG的长；（2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60，求旋转过程中点P运动的路线长；（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BFBC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由CBAEGDF图2CBAEGDF图1CBAD备用图CBAEGDF图2H解析：（1）正方形ABCD和正方形AEFGADAB，AGAE，EAGBAD90DAGBAE9
5、0EADDAGBAE，DGABEA120过点A作AHDG，交DG延长线于H，如图2则AGH60，GAH30GH AG1，AH AG在RtADH中，AH 2DH 2AD 2( )2( DG1)24 2CBAEGODF图3P12解得DG1（舍去负值）（2）由（1）知DAGBAE，ADGABE如图3，12，BPDBAD90连接BD，则BPD是以BD为斜边的直角三角形设BD的中点为O，连接OP，则OP BD AB2旋转过程中，点P运动的路线是以O为圆心，以OP为半径的一段圆弧如图4，当边AE在边AB上时，P与A重合当BAE60时，设AB的中点为M，连接MECBAEGO(P)DF图4M则AEAMBM AB，AEM是等边三角形EMA60，MBEMEB30BEA90，B、E、F三点共线P与F重合连接AF，易知OFA是等边三角形，AOF60点P运动的路线长为：2 （3）假设存在某时刻使得BFBC，则BFBACBAEGDF图5(P)H又EFEA，则BEBE，BEFBEABEFBEA，FEPAEP45P与G重合过点A作AHDG，交DG延长线于H，如图5则AGH45，AHGH AG在RtADH中，AH 2DH 2AD 2( )2( DG )24 2解得DG（舍去负值）即DP的长为 4
