1、上海市建平中学 2019-2020 学年高一数学下学期期中试题（含解析）一填空题 1.已知扇形的弧长是 6，圆心角为 2，则扇形的面积为_.【答案】9【解析】【分析】根据扇形的弧长是 6，圆心角为 2，先求得半径，再代入公式12Slr求解.【详解】因为扇形的弧长是 6，圆心角为 2，所以632lr，所以扇形的面积为116 3922Slr，故答案为：9【点睛】本题主要考查弧长公式及面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.数列 na是等比数列，112a，12q，132na，则n _.【答案】5【解析】分析】直接利用等比数列通项公式得到答案.【详解】数列 na是等比数列，112a，12q，
2、故1111232nnnaa q，解得5n.故答案为：5.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，属于简单题.3.已知 tan2 ，则 cossinsincos_.【答案】3 【解析】【分析】直接利用齐次式计算得到答案.【详解】cossin1tan123sincostan121 .故答案为：3.点睛】本题考查了齐次式求三角函数值，属于简单题.4.三角方程 tan()36x的解集为_.【答案】|arctan3,6x xkk Z 【解析】【分析】运用正切函数的图象和性质，可得所求解集.【详解】由于|arctan3,6x xkk Z，所以arctan36xk，得arctan3,6xkkZ，即三角方程 ta
3、n()36x的解集为|arctan3,6x xkk Z，故答案为：|arctan3,6x xkk Z.【点睛】本题考查三角方程的解法，注意运用诱导公式和三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题.5.1sin3x，35,22x，则 x 用反正弦可以表示为_.【答案】12arcsin 3x【解析】【分析】根据反正弦函数所表示的角的范围结合题目给出的角的范围求解.【详解】由1sin3x，则1arcsin2,3xkkZ，由1arcsin 3(0,)2，而35,22x，故1k，得12arcsin 3x.故答案为：12arcsin 3x【点睛】本题考查了反正弦函数的含义，特别注意反正弦函数所表示角的
4、范围，属于容易题.6.已知数列 na满足10a，1331nnnaaa（*nN），则2020a_.【答案】0 【解析】【分析】根据递推公式计算得到数列周期为3，故20201aa，得到答案.【详解】10a，1331nnnaaa，故2331a ，3333331a，2433031a，故数列周期为3，20203 673 1 ，故202010aa.故答案为：0.【点睛】本题考查了根据递推公式计算数列的项，意在考查学生的计算能力和推断能力，确定数列周期为3 是解题的关键.7.等差数列 na的通项为21nan，令21nnba，则数列nb的前 20 项之和为_.【答案】780 【解析】【分析】根据题意，由等差数
5、列通项公式21nan 求出nb，利用递推关系和等差数列定义法证明出nb是以 1 为首项，4 为公差的等差数列，最后利用等差数列前n 项和公式，即可求出数列nb的前 20 项之和.【详解】解：由题可知，等差数列 na的通项为21nan，则212 21143nnbann，11b ，所以1413434nnbbnn，可知数列nb是以 1 为首项，4 为公差的等差数列，则数列nb的前 20 项之和为：2020 1420 1207607802.故答案为：780.【点睛】本题考查利用递推关系和定义法证明等差数列，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查运算能力，属于基础题.8.函数22sincos
6、yxx（0）的最小正周期为 4，则 _.【答案】14【解析】【分析】利用二倍角余弦公式将函数解析式化简为cos2yx，然后利用余弦型函数的周期公式可求出 的值.【详解】解：2222sincoscossincos2yxxxxx ，且0，该函数的最小正周期为：242，解得：14.故答案为：14.【点睛】本题考查利用余弦型函数的周期求参数，以及利用二倍角余弦公式化简，考查计算能力，属于基础题.9.已知12sin5cos可表示为sin()A（0A，0）的形式，则sin2 _.【答案】120169【解析】【分析】利用辅助角公式将12sin5cos化简为13sin，并得出sin 和cos，再利用二倍角正弦
7、公式即可求出sin 2.【详解】解：12512sin5cos13sincos1313Q 令125cos,sin1313，则12sin5cos13 sincoscossin13sin，所以512120sin 22sincos2 1313169.故答案为：120169.【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简以及二倍角的正弦公式求值，属于基础题.10.已知角,(0,)4 ，3sinsin(2)，24tan1tan22，则 _.【答案】4 【解析】【分析】根据已知条件解得1tan2，然后再求得tan 的值，最后根据角的范围即可求解的值【详解】根据条件24tan1tan22，22tan 2211tan
8、2，即1tan2，32sinsin，则3sinsin，整理可得cos2cossinsin，即2sin2tancoscossin，即tan1，0044，02，故4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、正切公式及倍角公式的运用，在计算过程中注意角度的配凑，本题有一定量的计算，还要求学生能够熟练运用公式 11.方程210 sin102xxx 实数解的个数为_.【答案】12【解析】【分析】变换得到1sin10102xxx，确定函数为奇函数，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】210 sin102xxx，易知0 x，则1sin10102xxx，易知函数11010 xyx和sin 2
9、xy为奇函数，当9x 时，91411109045y，当11x 时，1116111011055y，画出函数11010 xyx和sin 2xy图像，如图所示：根据图像知：函数有 12 个交点，故方程有 12 个解.故答案为：12.【点睛】本题考查了方程解得个数问题，画出函数图像是解题的关键.12.设数列 na的通项公式为23nan（*nN），数列nb定义如下：对于正整数m，mb是使得不等式nam成立的所有n 中的最小值，则数列nb的前 2m 项和为_（结果用m 表示）【答案】24mm【解析】【分析】由nam可得32mn，根据nb 的定义知当21mk 时，*1mbkkN，当2mk时，*2mbkkN，
10、据此可用分组法求数列nb的前 2m 项和.【详解】对于正整数，由nam可得32mn，根据mb 的定义可知:当21mk 时，*1mbkkN，当2mk时，*2mbkkN，1221321242mmmbbbbbbbbb(2341)345(2)mm 2(3)(5)422m mm mmm【点睛】本题主要考查了数列的通项公式和前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，属于中档题.二选择题 13.已知 是第二象限角，则 2 是（）A.锐角 B.第一象限角 C.第一、三象限角 D.第二、四象限角【答案】C【解析】【分析】根据 是第二象限角，得到22,2kkk Z,再得到 2
11、 的范围判断。【详解】因为 是第二象限角，所以22,2kkk Z,422kkk Z,当 k 为偶数时，2 是第一象限角，当 k 为奇数时，2 是第三象限角，所以 2 是第一、三象限角.故选：C【点睛】本题主要考查象限角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。14.在 ABC中，若 tantan1AB ，那么 ABC是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由 tanAtanB1 可得 A，B 都是锐角，故 tanA 和 tanB 都是正数，可得 tan（A+B）1，可得 A，B 都是锐角，故 tanA 和tanB 都是正数，tan（A+B）1ta
12、nAtanBtanAtanB0，故 A+B 为钝角由三角形内角和为 180可得，C 为锐角，故ABC 是锐角三角形，故选 C【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断 A+B 为钝角，是解题的关键 15.函数()sin()f xAx（其中0A，|2）的图象如图所示，则()f x 的解析式是（）A.2()sin(2)3f xx B.()sin(2)3f xx C.2()sin(2)3f xx D.()sin(2)3f xx【答案】B【解析】【分析】由图象可知函数振幅 A，周期T，即可求出，根据图象过点 7(,1)12 可求出，即可得到解析式.【详解】由函数
13、图象知1A，周期7=4()123T，所以2=2T，由函数过点 7(,1)12 可知，7sin(2)112 ，即7sin()16 ，又|2，所以3，所求函数解析式为()sin(2)3f xx，故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数图象写出函数解析式，考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.16.已知 na、nb均是等差数列，nnncab，若 nc前三项是7,9,9，则10c（）A.47 B.47 C.1 D.1【答案】A【解析】【分析】确定nnncab是一个二次式，设2ncanbnc，代入数据得到方程组，解得表达式，计算得到答案.【详解】na、nb均是等差数列，则nnncab是一个二次式，设2
14、ncanbnc，则1237429939cabccabccabc，解得153abc，故253ncnn，1010050347c .故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的相关计算，意在考查学生的计算能力，确定nc 是一个二次式是解题的关键.三解答题 17.已知函数2()2sin cos2sin1f xxxx （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数2()2f x，0,)x，求 x 【答案】（1）5,88kk，kZ；（2）724，2324 【解析】【分析】（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式，根据辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数形式，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据特殊角
15、的正弦函数值，结合给定 x 的取值范围进行求解即可.【详解】（1）2()2sin cos2sin1sin2cos22sin(2)4f xxxxxxx，当3222242kxk，kZ时，函数()f x 单调递减，即当588kxk，kZ时，函数()f x 单调递减，因此()f x 的单调递减区间为：5,88kk，kZ；（2）2()2f x 212sin(2)sin(2)4242xx，因为0,)x，所以9(2),)444x，因此有5246x或13246x，解得724x或2324x【点睛】本题考查了正弦和余弦的二倍角公式的逆用，考查了辅助角公式的应用，考查了正弦型函数的单调性，考查了特殊角的正弦值的应用
16、，考查了数学运算能力.18.已知1sincos5，(0,)，求下列式子的值：（1）sincos；（2）tan 2；（3）33sincos【答案】（1）1225；（2）3；（3）37125【解析】【分析】（1）将已知条件两边平方，由此求得sincos 的值.（2）由sin cos 的值，求得cossin的值，进而求得sin,cos 的值，从而求得 tan 2的值.（3）由sin,cos 的值求得33sincos的值.【详解】（1）由1sincos5 两边平方得221sincos5，221sin2sincoscos25，即112sincos25，所以12sincos25 .（2）由于12sinco
17、s25 且(0,)，所以,2，所以cos0,sin0，所以cossin0.而22449cossin12sincos12525 ，所以 7cossin5.由1sincos57cossin5 解得34sin,cos55，所以21sinsincossinsin2222tan1 cos21 coscoscos222353415.（3）333334276437sincos55125125125 .【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和降次公式，属于中档题.19.如图，一智能扫地机器人在 A 处发现位于它正西方向的 B 处和北偏东 30方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感
18、应测量发现机器人到 B 的距离比到C 的距离少 0.4 米，于是选择沿 ABC路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为 0.2/m s，忽略机器人吸入垃圾及在 B 处旋转所用时间，10 秒钟完成了清扫任务 （1）B、C 两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角 B 的正弦值是多少？【答案】（1）B、C 两处垃圾的距离是 1.4 米；（2）5 314【解析】【分析】（1）设 ABx，根据已知条件求得 AC，利用余弦定理求得 BC，利用 ABBC除以扫地机器人的速度等于10 列方程，解方程求得 x，进而求得 BC.（2）利用余弦定理求得cos B 的值，进而求得sin
19、B 的值.【详解】（1）设0ABx，依题意可知0.4,9030120ACxBAC，由余弦定理得 220.420.4cos120BCxxxx 231.20.16xx.所以100.2ABBC，即231.20.162xxx，即231.20.162xxx，两边平方并化简得53 5160 xx，解得35x 或165x （舍去）.所以233731.20.161.4555BC米.（2）由（1）可知1.4,0.6,1BCABAC，由余弦定理得2221.40.6111cos2 1.4 0.614B.由于0180B，所以2115 3sin11414B.【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查余弦定理
20、解三角形，属于中档题.20.设 na是无穷等差数列，公差为d，前n 项和为nS （1）设140a，638a，求nS 的最大值；（2）设90S，且234518aaaa，令|nnba，求数列nb的前n 项和nT 【答案】（1）2020；（2）22327152232760522nnnnTnnn 【解析】【分析】（1）根据已知条件求得d，由此求得nS 的表达式，进而求得nS 的最大值.（2）利用已知条件求得1,a d，进而求得数列 nb的前n 项和nT.【详解】（1）依题意16140538aaad，解得25d ，所以21121201404025555nn nn nSnnnn ，其对称轴为2012015
21、100.51225，所以前100 或101项的和最大，即nS 的最大值为 2100101120110010020004020202055SS .（2）依题意9123451936041018Sadaaaaad，解得112,3ad，所以1213315nann .由3150nan，解得5n，50a.21327123222nn nSnnn .44 34123302S 所以，当15n时，21327123222nnn nTSnnn .当5n 时，2444327223022nnnTSSSSSnn 23276022nn，22327152232760522nnnnTnnn 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n
22、 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知定义在 R 上的函数()f x 和数列 na满足下列条件：1aa，21aa，当*nN 且2n 时，1()nnaf a 且11()()()nnnnf af ak aa，其中a、k 均为非零常数（1）若 na是等差数列，求实数 k值；（2）令1nnnbaa（*nN），若11b ，求数列nb的通项公式；（3）令1nnnbaa（*nN），若110cbk，数列nc满足112()nnnnccbb，若数列nc有最大值 M，最小值m，且(2,2)Mm ，求k 的取值范围【答案】（1）1k；（2）1nnbk；（3）1(,0)2【解析】【分析】（1）
23、根据题意，利用等差数列的定义，求得结果；（2）根据题意，证得数列nb是等比数列，利用等比数列的通项公式求得结果；（3）利用累加法求得nc的通项公式，结合题意，找到数列nc的最大项和最小项，解不等式求得结果.【详解】（1）由已知1()nnaf a，11()()()nnnnf af ak aa，111()()()nnnnnnaaf af ak aa，由数列 na是等差数列，得11nnnnaaaa，又11()nnnnaak aa，所以1k；（2）由1210baa，可得2322121()()()0baaf af ak aa，当2n 时，111121()()()()0nnnnnnnnbaaf af ak
24、 aakaa，所以当2n 时，1111111()()()nnnnnnnnnnnnnnbaaf af ak aakbaaaaaa，且11b ，所以，数列nb是首项为 1，共比为k 的等比数列，所以1nnbk；（3）由（2）可得 nb是以k 为首项，以k 为公比的等比数列，所以nnbk，110cbk 所以1112()2()nnnnnnccbbkk2(1)nkk，所以1212(1)cckk，2322(1)cckk，3432(1)cckk，112(1)(2)nnncckkn，累加得：12112(1)()nncckkkk 1(1)2(1)2()1nnkkkkkk，所以2(2)nnckk n，当1n 时也满足，所以2()nnckk nN 若 nc存在最大值，结合k0的条件，则 10k，所以2c 是最大项，1c 是最小项，所以22,Mkk mk，由(2,2)Mm 得2222kkk，解得102k，所以k 的取值范围为1(,0)2.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大最小项，属于较难题目.