1、高考资源网（） 您身边的高考专家上海交通大学附属中学2014届高三数学（理科班）第二次总复习训练题：空间向量与立体几何本试卷非选择题考试时间90分钟（2份）答案详细附试卷后1.如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，ABA1B1，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC1B1.2(2013北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA
2、1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值3(2013湖北省八校联考)如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2，DC1，BC，ABAD.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60，如图(2)(1)求证：AE平面BDC；(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值4(2013荆州市质量检查)如图所示，在矩形ABCD中，AB3，AD6，BD是对角线，过点A作AEBD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB.(1)求证：PO平面ABCE；(2)求二面角EAPB的余弦值5.(
3、2013河北衡水二模)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由6(2013武汉市武昌模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；(3)设点N
4、是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin 的最大值（二）1.如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90，AFABBC2，AD1，FACD.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值2.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC2，BD2，E是PB上任意一点(1)求证：ACDE；(2)已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值3如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB2AA12AD2，DC2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠
5、，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1.(1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1EA1D；(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由4如图，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EFAC，EFACO.沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEF平面ABFED.(1)求证：BD平面POA；(2)当PB取得最小值时，请解答以下问题，求四棱锥PBDEF的体积；若点Q满足 (0)，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由1
6、解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，cos，所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.(2)证明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，FB1BB1，FB1BC.BB1BCB，FB1平面BCC1B1.2解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1
7、平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cos n，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以
8、(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.3解：(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，则AF1，EF，AFE60.由余弦定理知AE.AE2EF2AF2，AEEF.ABAD，F为BD中点BDAF.又BD2，DC1，BC，BD2DC2BC2，即BDCD.又E为BC中点，EFCD，BDEF.又EFAFF，BD平面AEF.又BDAE，BDEFF，AE平面BDC.(2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C，B，D，(2,0,0)，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，由得取z，则y3，又n(0，3，)cosn，.故直线A
9、C与平面ABD所成角的余弦值为.4解：(1)证明：由已知得AB3，AD6，BD9.在矩形ABCD中，AEBD，RtAODRtBAD，DO4，BO5.在POB中，PB，PO4，BO5，PO2BO2PB2，POOB.又POAE，AEOBO，PO平面ABCE.(2)BO5，AO2.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，A(2，0,0)，B(0,5,0)，(2，0，4)，(0,5，4)设n1(x，y，z)为平面APB的法向量则即取x2得n1(2，4,5)又n2(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，cosn1，n2，故二面角EAPB的余弦值为.5解：(1)在PAD中，PAPD，
10、O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易证OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，.直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)(0,1，1)，(1,0,1)设平面PDC的一个法向量为u(x，y，z)，则取z1，得u(1,1,1)B点到平面PCD的距离为d.(
11、3)假设存在一点Q，则设 (01)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)设平面CAQ的一个法向量为m(x，y，z)，又(1,1,0)，AQ(0，1,1)，则取z1，得m(1，1，1)，又平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，二面角QACD的余弦值为，所以|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)，所以存在点Q，且.6解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)所以(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则即令z1
12、，则x2，y1，于是n(2，1,1)n0，n.又AM平面SCD，AM平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，则|cos |，即cos .平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.(3)设N(x,2x2,0)(x1,2)，则(x,2x3，1)又平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)，sin .当，即x时，(sin )max.1解：(1)证明：由已知得，BEAF，BCAD，BEBCB，ADAFA，平面BCE平面ADF.设平面DFC平面BCEl，则l过点C.平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面ADFDF.D
13、Fl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl.(2)FAAB，FACD，AB与CD相交，FA平面ABCD.故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，(1,0,2)，(1,2,0)设平面DFC的一个法向量为n(x，y，z)，则不妨设z1.则n(2，1,1)，不妨设平面ACD的一个法向量为m(0,0,1)cosm，n，由于二面角FCDA为锐角，二面角FCDA的余弦值为.2解：(1)证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC，四边形ABCD是菱形，BDAC，又BDPDD，AC平面PB
14、D，DE平面PBD，ACDE.(2)在PDB中，EOPD，EO平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PDt，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，E，P(0，t)，(1，0)，(1，t)由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2(x，y，z)，则根据得令y1，得平面PAB的一个法向量为n2.二面角APBD的余弦值为，则|cosn1，n2|，即，解得t2或t2(舍去)，P(0，2)设EC与平面PAB所成的角为，(1,0，)，n2(，1,1)，则sin |cos，n2|，EC与平面PAB所成角的正弦
15、值为.3解：(1)证明，如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)设E(1，t,0)，则(1，t，1)，(1,0，1)，1(1)t0(1)(1)0，D1EA1D.(2)假设存在符合条件的点E.设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，由(1)知(1,2t,0)，则得令y，则x1t，z1，n是平面D1EC的一个法向量，显然平面ECD的一个法向量为(0,0,1)，则cosn，cos，解得t2(0t2)故存在点E，当AE2时，二面角D1ECD的平面角为.
16、4解：(1)证明：菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC，BDAO，EFAC，POEF.平面PEF平面ABFED，且PO平面PEF，PO平面ABFED.BD平面ABFED，POBD.AOPOO，BD平面POA.(2)如图，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AOBDH，DAB60，BDC为等边三角形，故BD4，HB2，HC2.又设POx(0x0)，解得Q，.设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.(，2，)，(0，4,0)，取x1，得y0，z1，n(1,0,1)设直线OQ与平面PBD所成的角为，则sin |cos，n|.又0，692，即01，sin 1.，.故直线OQ与平面PBD所成的角一定大于.高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，吉林）六地区试卷投稿QQ 2355394501