1、3.2.2双曲线的简单几何性质 知识要点要点一双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围_或_，yR_或_，yR 对称性对称轴：_；对称中心：_ 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段_，长：_；虚轴：线段_，长：_；半实轴长：_，半虚轴长：_离心率eca_ 性质渐近线ybaxyabxxaxayaya坐标轴原点 A1A2 2aB1B22b ab(1，)【方法技巧】(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封
2、闭曲线(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交(4)双曲线形状与 e 的关系由于ba c2a2ac2a21 e21，因此 e 越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大要点二 等轴双曲线实轴和虚轴_的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是_，离心率为e_.等长yx 2答疑解惑教材 P126 思考通过比较例 5 与椭圆一节中的例 6 可以发现动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，若这个常数大于 0 小于 1，则动点的轨迹
3、是椭圆；若这个常数大于 1，则动点的轨迹是双曲线基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()(2)以y2x为渐近线的双曲线有2条()(3)方程y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax.()(4)离心率e越大，双曲线 x2a2 y2b2 1的渐近线的斜率绝对值越大()2实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是()Ax2y241By2x241C.x24y2161或y24x2161Dx2y241或y2x241解析：由题意知2a2,2b4a1，b2，a21，b24又双曲线的焦点位置不确定，故选D.答案：D3双曲线x22y21的渐近线方
4、程是()Ay12x By 22 xCy2x Dy 2x解析：由双曲线方程得：a2，b1，渐近线方程为：ybax 22 x.故选B.答案：B4若双曲线x2b2y2a21(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是_解析：由题意知渐近线与x轴的夹角4abtan41e1ab2 2答案：2题型一由双曲线的几何性质求其标准方程1已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A.x24y2121B.x212y24 1C.x23y21Dx2y231解析：不妨设点A在第一象限，由题意可知c
5、2，点A的坐标为(1，3)，所以ba3，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x2y231，故选D.答案：D2焦点为(0,6)，且与双曲线 x22 y21有相同的渐近线的双曲线方程是_解析：由 x22 y21，得双曲线的渐近线为y22 x.设双曲线方程为：x22y2(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 116，故所求双曲线的标准方程为x24y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为 y264 x216(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得140，b0)因为eca32，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为x24y251.方法二因为椭圆焦点在 x 轴上，
6、所以可设双曲线的标准方程为x225y2161(160)2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y nm x的双曲线方程可设为 x2m2 y2n2(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线x2a2y2b21或y2a2x2b21(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2或y2a2x2b2(0)(3)与双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2y2b2(0)或y2a2x2b2(0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置(4)与椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)共焦点
7、的双曲线系方程可设为x2a2 y2b21(b20，b0)的左、右焦点分别为 F1(5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线 C 的方程为x216y29 1 的是()A离心率为54B双曲线过点(5，94)C渐近线方程为 3x4y0D实轴长为 4解析：双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)可得c5，如果离心率为：54.可得a4，则b3，所以，双曲线C的方程为x216y291，所以A正确；c5，双曲线过点 5，94，可得25a2b225a2 8116b21解得a4，b3，所以双曲线C的方程为x216y291，所以B正确；c5，渐近线方程为3x4y
8、0，可得ba34，a2b225，解得a4，b3，所以双曲线C的方程为 x216y29 1，所以C正确；c5，实轴长为4，可得a2，b21，所以双曲线C的方程为x24y2211，所以D不正确；故选ABC.答案：ABC【方法技巧】已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准 a 和 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等注意与椭圆的相关几何性质进行比较探究 2求双曲线的离心率例 2(1)设 a1，则双曲线x2a2y2a121 的离心率 e 的取值范围是()A(2，2)B(2，5)C(2,5)D(2，5)解析
9、：(1)由题意得，双曲线的离心率 e2ca 2a2a12a21 11a 2，因为1a是减函数，所以当 a1 时，01a1，所以 2e25，所以 2e0，b0.(2)依据条件列出含 a，c 的齐次方程，利用 eca转化为含 e 或e2 的方程，解方程即可，注意依据 e1 对所得解进行取舍2求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2a2b2和 cae得到关于e的不等式，然后求解在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为ca.双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化探究 3求双曲线的渐近线例
10、 3(1)已知椭圆 E：x220y2161 与双曲线 C：x2a2y21(a0)有共同的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为()Ay 3xBy 33 xCy 5xDy 55 x解析：(1)椭圆E的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，所以双曲线C的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，则在双曲线C中：c2，b1，a c2b2 3，所以双曲线C的渐近线方程为：ybax 33 x.故选B.答案：(1)B(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 y2b2 1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_.解析：(2)由题意知：3242b21，解得b 2.所以双曲线的渐近线方程是ybx 2x.
11、答案：(2)y 2x【方法技巧】由双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程xayb0 或yaxb0.变式训练 1(1)(多选)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x24y2121，则()A实轴长为 2B渐近线方程为 y 3xC离心率为 2D一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3解析：(1)由双曲线的方程可得，a24，b212，c2a2b216，所以a2，b2 3，c4；所以实轴长2a4，离心率 ca2，渐近线方程为ybax3x，所以A不正确；B，C
12、正确；因为准线方程为x a2c 1，设渐近线y3 x与渐近线的交点为A，两个方程联立可得A(1，3)，另一条渐近线的方程为：3xy0，所以A到它的距离为d|31 3|2 3，所以D不正确答案：(1)BC(2)已知F为双曲线E：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|FB|，则双曲线E的离心率是_解析：(2)双曲线E：x2a2y2b21的渐近方程为ybax，若|OF|FB|，可得在直角三角形OAB中，由AOFBOFABO30，可得batan30 33，c2a2a2b2a21b2a211343，e2 33.答案：
13、(2)2 33题型三直线与双曲线的位置关系例 4(1)直线 l：ykx1 与双曲线 C：2x2y21 的右支交于不同的两点 A，B，则实数 k 的取值范围为_解析：(1)联立方程组ykx12x2y21 得(k22)x22kx20则 k2202k28k220 2kk2202k220解得2k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x21a2 y217a21，x22a2 y227a21.得x1x2x1x2a2y1y2y1y27a2，即x1x2y1y2a27a2y1y2x1x2，所以43103a27a2，解得a22，故双曲线的方程为x22y251.答案：(2)x22y251【方法技巧】解决有关直线
14、与双曲线的位置关系的问题时，还要关注直线交于双曲线两支中哪一支的问题，从而确定变量 x 和 y 的隐含范围.【方法技巧】直线与双曲线的位置关系的判断方法1代数法将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数联立得方程组，消去 x 或 y 中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意 x2 项或 y2 项的系数是否为零，否则容易漏解2数形结合法判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系与双曲线有关的中点弦问题的解题思路与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而不求的思想另外，
15、需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验变式训练 2(1)设双曲线 C：x2a2y21(a0)与直线 l：xy1相交于两个不同的点，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为()A.(62，2)B(2，)C.(62，)D.(62，2)(2，)解析：(1)由x2a2y21xy1得(1a2)x22a2x2a20则1a20，4a22a20 解得a2(0,1)(1,2)又e1a21，a21e21从而e62，2(2，)，故选D.答案：(1)D(2)已知双曲线 x24 y21，则过点A(3，1)，且被点A平分的双
16、曲线的弦MN所在直线方程是_解析：(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x214y211x224y221两式相减得x22x214y22y21所以y2y1x2x1 x2x14y2y1.因为点A平分弦MN，所以x1x26，y1y22.所以kMNy2y1x2x1 x2x14y2y134.所以双曲线的弦MN所在直线的方程为y134(x3)，即3x4y50.易错辨析忽略对焦点所在轴的讨论致误例 5已知双曲线的渐近线方程是 y23x，焦距为 2 26，求双曲线的标准方程解析：当双曲线的焦点在 x 轴上时，由ba23，c2a2b226，解得a218，b28，所以所求双曲线的标准方程为x218y281.当双曲线的焦点在 y 轴上时，由ab23，c2a2b226，解得b218，a28，所以所求双曲线的标准方程为y28x2181.故所求双曲线的标准方程为x218y281 或y28x2181.【易错警示】易错原因纠错心得误认为焦点一定在 x轴上，得到答案：x218y281，而漏掉焦点在y 轴上的情况.当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在 x轴上时，渐近线方程为 ybax；焦点在 y轴上时，渐近线方程为 yabx.谢谢 观 看