1、第一课时 3.2 函数的基本性质 必修一第三章 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识梳理(一)教材梳理填空1增函数和减函数增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI：如果x1，x2D，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)定义那么就称函数 f(x)在区间 D 上_区间 D 称为函数f(x)的_那么就称函数 f(x)在区间 D上_区间 D 称为函数 f(x)的_单调递增单调递增区间单调递减单调递减区间知识梳理 增函数减函数图象特征函数 f(x)在区间 D 上的图象是_的函数 f(x)在区间 D 上的图象是_的图示上升下降知识梳理 方法技巧 利用定义证
2、明函数单调性的 4 个步骤知识梳理 2单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的_单调区间思考若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)f(b)，则 a，b 满足什么关系，如果函数 f(x)是减函数呢？提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)f(b)时，ab；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)f(b)时，ab.知识梳理 常见函数的单调区间(1)yaxb，a0 时，单调递增区间为(，)；a0 时，单调递减区间为(，0)和(0，)；a0 时，
3、单调递减区间为(，m，单调递增区间为(m，)；af(x)恒成立，则 af(x)max；若对于区间 D 上的任意 x，af(x)恒成立，则 af(x)成立，则af(x)min；若在区间 D 上存在 x 使 af(x)成立，则 af(x)max，其他(如 af(x)等)情形类似可得相应结论例题解析 例 1下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()Ay1x ByxCyx2Dy1x解析：选项 A、B、C 中的函数在(0，)上都是增函数，选项 D 满足条件D例题解析 例 2.函数 f(x)的图象如图所示，则()A函数 f(x)在1,2上是增函数B函数 f(x)在1,2上是减函数C函数 f(x)在1,4
4、上是减函数D函数 f(x)在2,4上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选 A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断A例题解析 例 3.利用单调性的定义，证明函数 yx2x1在(1，)上是减函数证明：设 x1，x2 是区间(1，)上任意两个实数且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x12x11x22x21x2x1x11x21，1x10，x110，x210.x2x1x11x210.即 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)yx2x1在(1，)上是减函数利用四步证明函数的单调性例题解析 例 4.已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，4
5、上是减函数，求实数a 的取值范围【解析】f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴 x1a 必须在直线 x4 的右侧或与其重合1a4，解得 a3.故 a 的取值范围为(，3例题解析 例 5函数 f(x)x22x 的单调递增区间是_答案：(，1例题解析 例 6若 y(2k1)xb 是 R 上的减函数，则 k 的取值范围为_，b 的取值范围为_答案：，12 R例题解析 例 7 画出函数 yx22|x|3 的图象，并指出函数的单调区间解 yx22|x|3x124，x0，x124，x0.函数图象如图所示函数在(，1，0,1上是增函数
6、，函数在1,0，1，)上是减函数所以函数的单调递增区间是(，1和0,1，单调递减区间是(1,0)和(1，)例题解析 例 8.已知函数 f(x)2x1(x2,6)，求函数的最大值和最小值【解析】x1，x22,6，且 x1x2，则f(x1)f(x2)2x112x212x21x11x11x212x2x1x11x21.由 2x10，(x11)(x21)0，于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)例题解析 所以，函数 f(x)2x1在区间2,6上单调递减因此，函数 f(x)2x1在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值在 x2 时取得最大值，最大值是 2；在 x6 时取得最小值，最小
7、值是 0.4.例题解析 例 9.(1)已知函数 f(x)x22(a1)x3.若函数 f(x)在区间(，3上是增函数，则实数 a 的取值范围是_；若函数 f(x)的单调递增区间是(，3，则实数 a 的值为_(2)若函数 f(x)x2axb 在区间1,2上不单调，则实数 a 的取值范围为_(3)已知函数 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，则实数 a 的取值范围为_例题解析 解析(1)f(x)x22(a1)x3(xa1)2(a1)23.因此函数的单调递增区间为(，a1由 f(x)在(，3上是增函数知 3a1，解得 a4，即实数 a 的取值范围为(，4由题意得a13，
8、a4.(2)函数 f(x)的对称轴方程为 xa2，要使函数 f(x)在区间1,2上不单调，则 1a22，解得4a2.例题解析(3)由题知11a1，12a12a1，解得 0a23，即所求 a 的取值范围是0，23.答案(1)(，4 4(2)(4，2)(3)0，23例题解析 例 10.如图所示为函数 yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值 例题解析【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以函数 yf(x)当 x3 时取得最大值，最大值是 3.当 x1.5 时取得最小值，最小值是2.观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(1.5，2)
9、例题解析 例 11.已知关于 x 的不等式 x2xa10 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是()A.，54B，54C.54，D54，解析：记 f(x)x2xa1，则原问题等价于二次函数 f(x)x2xa1 的最小值大于或等于 0.而 f(x)x122a54，当 x12时，f(x)mina54，所以 a540，解得 a54.故选 D.D例题解析 例 12 当 0 x2 时，ax22x 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，1 D(，0C(，0)D(0，)解析：记 f(x)x22x,0 x2，因为 ax22x 恒成立，所以a|31|，所以 f(x)的最大值为 f(2)11.例题解析(3
10、)当 t1 时，f(x)在t，t1上是增函数，所以当 xt 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)f(t)t22t3.当 t1t1，即 0t1 时，f(x)在t，t1上先递减后递增，故当 x1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)f(1)2.当 t11，即 t1，2，0t1，t22，t0.例题解析 例 15将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为 x 元，利润为 y 元，单个涨价(x50)元，销量减少 10(x50)个，销量为 50010(x50)(1 00010 x)个，则 y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 000.故当 x70 时，ymax9 000.即售价为 70 元时，利润最大值为 9 000 元课堂小结 1函数单调性的定义;2通过函数单调性求最值;3通过函数单调性求参数;4.函数单调性的应用.感谢您的观看