1、12.3 同角三角函数的基本关系式 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tansincos.2会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式课前自主学案 温故夯基 yr1三角函数定义：sin_，cos_，tan_(r x2y20)xryx2同角 终边相同的角 的集合为_3利用正弦线、余弦线可以看出，当(4，54)时，sincos，当(0，4)(54，2)时，sin_cos.|k360，kZ0，cos 55，sin2 55 2 55.综合(1)(2)知：当 为第二象限角时，cos 55，sin2 55，当 为第四象限角时，cos 55，sin2 55
2、.【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思想的应用 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能地简单，也就是项数尽可能地少，次数尽可能地低，函数的种类尽可能地少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值三角函数式的化简【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)中含有二次根式(2)中所含角的三角函数次数相对较高，且分子分母含常数“1”解答本题中的(1)，(2)时应充分利用“sin2cos21”这一条件 例2化简下列各式：(1)12sin 10cos 10sin 10
3、 1sin2 10；(2)1cos4sin41cos6sin6.【解】(1)原式 cos10sin102sin 10 cos2 10|cos 10sin 10|sin 10cos 10 cos 10sin 10sin10cos10 1.(2)法一：原式cos2sin22cos4sin4cos2sin23cos6sin62cos2sin23cos2sin2cos2sin223.法二：原式1cos4sin41cos6sin61cos2sin222sin2cos21cos2sin2cos4cos2sin2sin4112cos2sin21cos2sin223cos2sin22cos2sin23cos2
4、sin223.法三：原式1cos21cos2sin41cos21cos2cos4sin6sin21cos2sin2sin21cos2cos4sin42cos21cos2cos2sin22cos23cos223.【点评】(1)在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点(2)第(2)题的三种方法虽然思路不同，但都是应用公式 sin2cos21，法二和法三都是顺用公式，而法一则是逆用公式，三种方法中以法一最简单这里所谓逆用公式 sin2cos21，实质就是“1”的三角代换：“1sin2cos2”，“1tan4”等等
5、，“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用变式训练 1 若 sin tan0，化简1sin1sin1sin1sin.解：由于 sintan0，则 sintan 异号，为第二、三象限角，cos0，1sin1sin 1sin1sin 1sin21sin2 1sin21sin2 1sin|cos|1sin|cos|2|cos|2cos.三角恒等式的证明证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地化简 例3 求证：sin1cos1cossin.【思路点拨】可以用作差法证明恒等式，也可以用“1”的代换【证明】法一：sin1cos1cossinsin21cos1cos1cossin
6、sin21cos21cossin sin2sin21cossin0，sin1cos1cossin.法二：sin2cos211cos2sin2(1cos)(1cos)sinsin sin1cos1cossin.【点评】(1)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式方法有从左至右，从右至左或两侧同时证明，或可用比较法与分析法(2)注意切化弦、弦化切及平方关系的应用变式训练 2 求证：2(1sin)(1cos)(1sincos)2.证明：法一：左边112sin2cos2sincos 1 sin2 cos2 2sin 2cos 2sincos(1sincos)2右边 法 二：右 边 1 sin2 cos2 2sin 2cos2sincos 2(1sincossincos)2(1sin)(1cos)左边 方法感悟 1掌握三种基本题型(1)求值：注意是否指明角的所在象限，确定解的个数；(2)化简：化简标准一般是函数种类尽量少，项数尽量少，次数尽量低，能求值要求值，尽量分母不含三角形式与根式(3)证明：要掌握基本思路，消除等式两边的差异2对同角三角函数关系式还应注意：(1)是使两边都有意义的角的取值；(2)对公式除了顺用、逆用，还要学会变形使用；(3)对平方关系，尽可能少使用，使用时注意对正负号的选取