1、第一节直线与直线方程命题分析预测学科核心素养本节内容高考中很少独立考查，通常与切线方程、圆的方程、圆锥曲线相结合，难度中等本节主要提升考生的数学运算、直观想象核心素养授课提示：对应学生用书第165页知识点一直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线l的倾斜角的取值范围是0，)2直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_；(2)斜率公式：经
2、过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k 温馨提醒 直线的斜率k与倾斜角之间的关系00909090180k0k0不存在k0牢记口诀：“斜率变化分两段，90是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”1直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是()ABC D解析：直线l的斜率ktan 30答案：A2若过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为_解析：由题意得1，解得m1答案：1知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式
3、纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线 温馨提醒 1用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误2直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式1已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线方程为()A4x2y50 B4x2y50Cx2y50 Dx2y50解析：线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y2(x2)，即4x2y50答案：B2直线3x4yk0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k()A24 B12C12 D24解析：令x
4、0，得y；令y0，得x，则有2，所以k24答案：A3(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_解析：当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5，所以直线方程为xy50答案：3x2y0或xy50授课提示：对应学生用书第166页题型一直线的倾斜角与斜率1已知直线2xy30的倾斜角为，则sin 2的值是（）ABC D解析：直线2xy30的斜率k2，所以tan 2，所以sin 2答案：C2（2021烟台模拟）已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k1”，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件
5、解析：直线l的倾斜角，则直线l的斜率ktan 1或k0；又直线l的斜率k1，则tan 1，p是q的必要不充分条件答案：B3直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_解析：如图，过A（2，1），P（1，0）的直线的斜率为k1，过B（0，），P（1，0）的直线的斜率为k2由图可知，过P的直线l与线段AB有公共点的斜率的取值范围是答案：求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出tan 的取值范围（2）利用正切函数的单调性，借助图像，确定倾斜角的取值范围题型二直线方程的求法根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（4，0），倾斜角的正弦值为；（2
6、）直线过点（3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；（3）直线过点（5，10），且与原点的距离为5解析：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin （0），从而cos ，则ktan 故所求直线方程为y（x4），即x3y40或x3y40（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为1，又直线过点（3，4），从而1，解得a4或a9故所求直线方程为4xy160或x3y90（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x50满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k（x5），即kxy105k0由点线距离公式，得5，解得k故所求直线方程为3x4y250综上，所求直线方程为x
7、50或3x4y250求直线方程的注意事项（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性题型三直线方程的应用例（1）设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P（x，y），则|PA|PB|的最大值是；（2）已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_解析（1）由直线xmy0求得定点A
8、（0，0），直线mxym30，即y3m（x1），所以得定点B（1，3）当m0时，两条动直线垂直，当m0时，因为m1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5（当且仅当|PA|PB|时，等号成立），所以|PA|PB|的最大值是5（2）由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2a，因为0a2，所以2a0，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2（2a）2（a22）a2a4，又0a2，所以当a时，面积最小答案（1）5（2）求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函
9、数，再利用基本不等式或二次函数求解最值对点训练已知直线xa2ya0（a是正常数），当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是（）A0B2CD1解析：直线xa2ya0（a是正常数）在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a2，当且仅当a1时，等号成立故当直线xa2ya0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1答案：D直线方程应用的核心素养数学运算直线方程的交汇应用例（2021重庆巴蜀中学模拟）已知曲线y在点P（2，4）处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为（）A2xy20B2xy20或2xy180C2xy180D2xy20或2xy180解析y，当x2时
10、，y2，因此kl2，设直线l方程为y2xb，即2xyb0，由题意知2，解得b18或b2，所以直线l的方程为2xy180或2xy20答案B抓住导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键对点训练已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：axbyc0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x4y120上，则|PQ|的最小值是_解析：不全为零的实数a，b，c成等差数列，b，代入动直线l：axbyc0，得axyc0，即a（2xy）c（y2）0a，c不全为零，解得x1，y2，动直线l过定点N（1，2）设点P（x，y），当点P与N不重合时，APNP，（x1，y2）（x1，y2）0，整理，得x2y22x30，即（x1）2y24点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x4y120上，圆心（1，0）到直线3x4y120的距离d32，|PQ|的最小值等于圆心（1，0）到直线3x4y120的距离d减去圆的半径2，|PQ|的最小值为321答案：1
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