1、第二节等差数列及其前n项和命题分析预测学科核心素养本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题本节通过对等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养授课提示：对应学生用书第105页知识点一等差数列的概念与通项1等差数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and（nN，
2、d为常数），或anan1d（n2，d为常数）（2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A2等差数列的通项公式与前n项和公式（1）若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1（n1）d通项公式的推广：anam（nm）d（m，nN）（2）等差数列的前n项和公式Snna1d（其中nN，a1为首项，d为公差，an为第n项） 温馨提醒 要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列1已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，a8a1028，则S9（）A36B72C144 D288解
3、析：因为a8a102a116d28，a12，所以d，所以S99272答案：B2（易错题）一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（）Ad BdCd Dd解析：由题意可得即解得d答案：D3设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8_解析：由已知可得解得所以S88a1d32答案：32知识点二等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和（1）若mnpq（m，n，p，qN*），则有amanapaq（2）等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列 温馨提醒 三个必备结论（1
4、）若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn（a1a2n）n（anan1）；S偶S奇nd，（2）若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1（2n1）an1；（3）在等差数列an中，若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm1（2021吉林月考）设等差数列an的前n项和为Sn，若S48，S820，则a13a14a15a16（）A12B8C20D16解析：S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，S48，S8S412，S12S816，S16S1220，即a13a14a15a1620答案：C2在等差数列an中，若a3a4a5
5、a6a7450，则a2a8（）A180 B90 C270 D360解析：由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5180答案：A3（易错题）已知等差数列an中，|a3|a9|，公差d0，则使数列an的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是_解析：由|a3|a9|，d0，得a3a9，即a3a90，所以a60所以a50，a60，a70所以当n5或6时，Sn取最大值答案：5或6授课提示：对应学生用书第106页题型一等差数列的基本问题1（2021聊城期末测试）已知an是公差为2的等差数列，前5项和S525，若a2m15，则m（）A4B6C7 D8解析：S55a
6、1225，解得a11所以a2ma1（2m1）214m215，解得m4答案：A2（2021西安调研）已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100（）A100 B99C98 D97解析：设an的首项为a1，公差为d，则S99a136d9（a14d）27，a14d3又a10a19d8，a11，d1a100a199d98答案：C3（2019高考全国卷）记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围解析：（1）设an的公差为d由S9a5得a14d0由a34得a12d4于是a18，d2因此an的通项公式为an102n（2）
7、由（1）得a14d，故an（n5）d，Sn由a10知d0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm对点训练设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为（）A9B10C11 D12解析：由，得S11S9，即a10a110，根据首项a10可推知这个数列递减，从而a100，a110，故n10时，Sn最大答案：B等差数列应用中的核心素养（一）数学建模等差数列中的数学文化问题例1（2020高考全国卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，
8、向外每环依次增加9块下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A3 699块B3 474块C3 402块 D3 339块解析设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d9，a19的等差数列由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且（S3nS2n）（S2nSn）n2d，则9n2729，得n9，则三层共有扇面形石板S3nS2727993 402（块）答案C等差数列的数学文化题求解关键是阅读文化信息后建立等差数列的模型，再利用等差数列相关的知识进行求解对点训练九章算术是我国古
9、代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）A钱B钱C钱 D钱解析：依题意，设甲所得为a1，公差为d，则a1a2a3a4a5，即2a1d3a19d，解得a1，所以甲所得为钱答案：B（二）数学抽象等差数列新定义问题例2（2021太原期末测试）对于数列an，定义Hn为an的“优值”，已知数列an的“优值”Hn2n1，记数列an20的前n项和为Sn，则Sn最小值为（）
10、A70 B72C64 D68解析数列an的“优值”Hn2n1，Hn2n1，a12a22n1ann2n1，2n1ann2n1（n1）2n（n2），an4n2（n1）2n2（n2），又a14，满足上式，an2n2（nN），an202n18，由得8n9，Sn的最小值为S8S972答案B有关等差数列的新定义问题的求解要紧扣定义信息转化为等差数列相关问题求解对点训练已知定义：在数列an中，若aap（n2，nN，p为常数），则称an为等方差数列下列命题不正确的是（）A若an是等方差数列，则a是等差数列B（1）n是等方差数列C若an是等方差数列，则akn（kN，k为常数）不可能还是等方差数列D若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：若an是等方差数列，则aap，故a是等差数列，故A正确；当an（1）n时，aa（1）2n（1）2（n1）0，故B正确；若an是等方差数列，则由A知a是等差数列，从而a（kN，k为常数）是等差数列，设其公差为d，则有aad由定义知akn是等方差数列，故C不正确；若an既是等方差数列，又是等差数列，则aap，anan1d，所以aa（anan1）（anan1）d（anan1）p若d0，则anan1又anan1d，解得an，an为常数列；若d0，该数列也为常数列，故D正确答案：C
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