1、第九节导数概念及其运算、定积分命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.本节通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.授课提示：对应学生用书第40页知识点一导数的概念及运算1.函数yf（x）在xx0处的导数（1）定义：称函数yf（x）在xx0处的瞬时变化率为函数yf（x）在xx0处的导数
2、，记作f（x0）或y|xx0，即f（x0）.（2）几何意义：函数f（x）在点x0处的导数f（x0）的几何意义是在曲线yf（x）上点（x0，f（x0）处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf（x0）f（x0）（xx0）.2.函数yf（x）的导函数如果函数yf（x）在开区间（a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在（a，b）内构成一个新函数，这个函数称为函数yf（x）在开区间内的导函数.记作f（x）或y.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）c（c为常数）f（x）0f（x）x（Q*）f（x）x1f（x）sin xf（x）cos xf（x）cos xf（x）sin xf（x）exf（x）
3、exf（x）ax（a0，且a1）f（x）axln af（x）ln xf（x）f（x）logax（a0，且a1）f（x）4.导数的运算法则若f（x），g（x）存在，则有（1）f（x）g（x）f（x）g（x）；（2）f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）；（3）（g（x）0）.5.复合函数的导数复合函数yf（g（x）的导数和函数yf（u），ug（x）的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积. 温馨提醒 二级结论1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.函数yf（x）的导数f（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋
4、势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f（x）|反映了变化的快慢，|f（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.必明易错1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式（x）x1与指数函数的求导公式（ax）axln a混淆.2.求曲线切线方程时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有区别.1.函数yxcos xsin x的导数为（）A.xsin xB.xsin xC.xcos x D.xcos x解析：yxcos xx（cos x）（sin x）cos xxsin xcos xxs
5、in x.答案：B2.（2021郑州模拟）曲线y1在点（1，1）处的切线方程为 _.解析：因为y，所以y|x12.故所求切线方程为2xy10.答案：2xy103.有一机器人的运动方程为st2（t是时间，s是位移），则该机器人在t2时的瞬时速度为_.解析：因为st2，所以s2t，所以s|t24.答案：4.（易错题）已知直线yx1是函数f（x）ex图像的切线，则实数a_.解析：设切点为（x0，y0），则f（x0）ex01，ex0a，又ex0x01，x02，ae2.答案：e2知识点二定积分1.定积分的概念在f（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f（x）叫做被积函数
6、，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式.2.定积分的性质（1）kf（x）dxf（x）dx（k为常数）；（2）f1（x）f2（x）dxf1（x）dxf2（x）dx；（3）f（x）dxf（x）dxf（x）dx（其中acb）.3.定积分的几何意义条件f（x）dx的几何意义f（x）0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf（x）所围成的曲边梯形的面积f（x）0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，a0，故实数a的取值范围为0，)答案(1)D(2)D与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)已知斜
7、率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.题组突破1(2021钟祥模拟)已知函数f(x)，则函数f(x)的图像在点(0，f(0)处的切线方程为()Axy10Bxy10Cxy10 Dxy10解析：f(x)，f(x)，f(0)1，f(0)1，即函数f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率为1，函数f(x)的图像在点(0，f(0)处的切线方程为yx1，即xy10.答案：B2(2021太原模拟)已知函数f(x)xln xa的
8、图像在点(1，f(1)处的切线经过原点，则实数a的值为()A1 B.0C. D1解析：f(x)xln xa，f(x)ln x1，f(1)1，f(1)a，切线方程为yx1a，001a，解得a1.答案：A3若曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为_解析：由yax2(a0)，得y2ax.由yex，得yex.曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，设公共切线与曲线C1切于点(x1，ax)，与曲线C2切于点(x2，ex2)，则 2ax1ex2，可得2x2x12，a，记f(x)，则f(x)，当x(0，2)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2，)时
9、，f(x)0，f(x)单调递增当x2时，f(x)的值最小，f(x)min.a的取值范围是.答案：题型三定积分 例(1)定积分|x22x|dx()A5B6C7 D8(2)(2021银川模拟)如图所示，阴影部分的面积是()A2 B.2C. D.解析(1)|x22x|dx(x22x)dx448.(2)由题意得S(3x22x)dx.答案(1)D(2)D1.求定积分的三大常用方法2利用定积分求平面图形面积的四个步骤(1)根据题意画出图形(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和(4)计算定积分，写出答案题组突破1由曲线y，直线yx2及y轴所
10、围成的图形的面积为()A.B4C. D6解析：作出曲线y，直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由得交点A(4，2)因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为(x2)dx(x2)dx81624.答案：C2(2021青岛模拟)计算：(x)dx_解析：由定积分的几何意义知dx是由y与直线x0，x1所围成的图形的面积，即是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆的面积的，故，(x)dxx2，(x)dx.答案：导数几何意义应用中的核心素养(一)数学运算两曲线的公切线应用题例1(1)已知定义在(0，)上的函数f(x)x2m，h(x)6ln x4x，设两曲线yf(x)与yh(x)在公共点处的切线相
11、同，则m值等于()A3B1C3 D5解析设函数f(x)x2m，h(x)6ln x4x在公共点(a，b)处的切线相同(a0)，由题得f(x)2x，h(x)4，所以解得a1，b4，m5.答案D(2)(2020高考全国卷)若直线l与曲线y和圆x2y2都相切，则l的方程为()Ay2x1 B.y2xCyx1 Dyx解析圆x2y2的圆心为原点，半径为，经检验原点与选项A，D中的直线y2x1，yx的距离均为，即两直线与圆x2y2均相切，原点与选项B，C中的直线y2x，yx1的距离均不是，即两直线与圆x2y2均不相切，所以排除B，C.将直线方程y2x1代入y，得2()210，判别式0，所以直线y2x1与曲线y
12、不相切，所以排除A.答案D1.两曲线yf(x)，yg(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程2求曲线yf(x)，yg(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f(x1)，(x2，g(x2)，满足方程组f(x1)g(x2)，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程(二)创新应用导数的几何意义与函数性质的交汇问题例2(2021石家庄模拟)设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln 2 B.ln 2C. D解析对f(x)exaex求导得f(x)exaex，
13、又f(x)是奇函数，故f(0)1a0，解得a1，故有f(x)exex，设切点为(x0，y0)，则f(x0)ex0ex0，解得ex02或ex0(舍去)，所以x0ln 2.答案A求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的两个注意点(1)要注意函数相关性质在解题中的作用(2)抓住导数的几何意义，利用函数性质或图像求解问题题组突破1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为()A3xy40B3xy40C3xy20 D3xy40解析：若x0，则x0，所以f(x).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，此时f(x)，f(1)3，f(1)1，所以切线方程为y13(x1)，即3xy40.答案：A2已知f(x)ex(e为自然对数的底数)，g(x)ln x2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为()Ayx或yx1Byex或yx1Cyex或yx1Dyx或yx1解析：设切点分别为(x1，ex1)，(x2，ln x22)，因为f(x)ex，g(x)，所以ex1，所以，所以(x21)(ln x21)0，所以x21或x2，因此直线l的方程为y21(x1)或y1e，即yex或yx1.答案：C
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