1、上海市建平中学2007学年度第一学期第一次月考高三数学试题（理科卷）2007年10月11日班级 姓 名 学 号 题号总分得分一、填空题（每题4分，共44分）1. 复数的虚部为 . 2已知集合，则能使成立的实数的取值范围是 . 3若是方程（），则 . 4已知，则不等式解集是 .5复数在复平面内对应的点在第 象限.6函数在定义域内存在反函数，且，则 .7若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 8若函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，在上都是减函数，且，则使得的的取值范围是 .9. 已知函数是偶函数，当时，又时， 恒成立，则的取值范围是 .10已知，若恒成立，则的最大值为 . 11定义表示
2、如下函数：若，则给出下列关于函数的四个命题：函数的定义域是，值域是；函数是上的奇函数；函数是周期函数，最小正周期是；函数的图像关于直线对称其中正确命题的序号是_ _(把你认为正确的命题序号都填上)二、选择题（每题4分，共16分）12已知都为实数，则“”是“”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件13已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对是（）(A) (B) (C) (D)14已知定义在上的函数满足下列三个条件： 对任意的，都有； 对任意的，都有； 的图象关于轴对称则下列结论中，正确的是 ( ) (A) (B) (C) (D)
3、15设定义域为的函数都有反函数，的反函数为，令，可得函数和图象关于直线对称，若，则等于 ( ) (A) (B) (C) (D)三、解答题（本大题共计90分）16（本题12分）设复数，试求实数的取值，使得（1）是纯虚数； （2）对应的点位于复平面的第二象限.解： 17（本题14分）已知函数（为常数）且方程有两个实根为. （1）求函数的解析式；（2）当时，解关于的不等式：18（本题14分）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题和都是假命题，求实数的取值范围.解：19（本题14分）班级 姓 名 学 号 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在年度进行一系列促销活动，经过市场
4、调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费万元之间满足与成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是万件，已知年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为万元，每生产万件化妆品需再投入万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：平均每件促销费的一半与其生产成本的之和，则当年生产的化妆品正好能销完. (注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)(1)将年的利润(万元)表示为促销费 (万元)的函数；(2)该企业年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大? 解：20（本题18分） 设为实数，函数的最大值为.（1）求函数的定义域；（2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域；（3）求，并求当
5、时满足的实数的取值集合.解：21（本题18分）我们给出如下定义：对函数，若存在常数（），对任意的，存在唯一的，使得，则称函数为“和谐函数”，其中常数称为函数的 “和谐数”.（1）判断函数是否为“和谐函数”？答： .（填“是”或“否”）；如果是 “和谐函数”，写出它的一个“和谐数”： .（2）请先学习下面的证明方法：证明：函数，为“和谐函数”，是其“和谐数”；证明过程如下：对任意，令，即，得. ，.即对任意，存在唯一的，使得 . 函数为“和谐函数”， 是其“和谐数”.参照上述证明过程证明：函数为“和谐函数”.证明：（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明.解：建平中学2008届高三第一次
6、月考数学测试（理科） 2007.10.11一、填空题（每题4分，共44分）1. 复数的虚部为 . 2已知集合，则能使成立的实数的取值范围是 . 3若是方程（），则 . 4已知，则不等式解集是 . 5复数在复平面内对应的点在第 象限.三6函数在定义域内存在反函数，且，则 .7若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .8若函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，在上都是减函数，且，则使得的的取值范围是 .9. 已知函数是偶函数，当时，又时， 恒成立，则的取值范围是 .10已知，若恒成立，则的最大值为 . 11定义表示如下函数：若，则给出下列关于函数的四个命题：函数的定义域是，值域是；函数是上的奇
7、函数；函数是周期函数，最小正周期是1；函数的图像关于直线对称其中正确命题的序号是 (把你认为正确的命题序号都填上)二、选择题（每题4分，共16分）12已知都为实数，则“”是“”的 （ ）B (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C)充要条件(D) 既非充分也非必要条件13已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对（是（ ）A(A) (B) (C) (D)14已知定义在上的函数满足下列三个条件： 对任意的，都有； 对任意的，都有； 的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是（ ）D (A)(B) (C) (D) 15设定义域为的函数都有反函数，的反函数为，令，可得函数和图象关于直线对称，
8、若，则等于 ( )D (A) (B) (C) (D)三、解答题（本大题共计90分）16（本题12分）设复数，试求实数的取值，使得 是纯虚数； 对应的点位于复平面的第二象限.解： 由 ，得.（6分）由，得.（12分）17（本题14分）已知函数（为常数）且方程有两个实根为. （1）求函数的解析式；（2）当时，解关于的不等式：解：（1）将得，解得，所以（8分）（2）不等式即为， 可化为当时，不等式的解为（14分）18（本题14分）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题和都是假命题，求实数的取值范围.解：对于命题：显然，由得， . ， ，得.（5分）对于命题：只有一个实数满足不等
9、式，即抛物线与轴只有一个交点. ，得.（10分） 命题和都是假命题， . 实数的取值范围是.（14分）19（本题14分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费万元之间满足与成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是万件，已知年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为万元，每生产万件化妆品需再投入万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：平均每件促销费的一半与其生产成本的之和，则当年生产的化妆品正好能销完. (注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)(1)将年的利润(万元)表示为促销费 (万元)的
10、函数；(2)该企业年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?解：由题意：，将代入得，故.当年生产(万件)时，年生产成本年生产费用固定费用， 当销售（万件）时，年销售收入.由题意，生产万件化妆品正好销完. 年利润年销售收入年生产成本促销费，. （）. （8分）（2）万， 当且仅当时取等号，此时.当促销费定在7万元时，利润最大为万. （14分）20（本题18分）设为实数，函数的最大值为.（1）求函数的定义域；（2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域；（3）求，并求当时满足的实数的取值集合.解：（1）由题意得. 函数的定义域为.（4分）（2）由平方得.由得，所以的取值范围是.又， . 即，定义域
11、为.（8分）（3）由题意知即为函数的最大值.注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：）当时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，.）当时，, .）当时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，.若，即时，则；若，即时，则；若，即时，则；综上有.（14分）当时， ，由得，. .当时，此时，由解得与矛盾. 满足的所有实数的取值集合是：.（18分）21（本题18分）我们给出如下定义：对函数，若存在常数（），对任意的，存在唯一的，使得，则称函数为“和谐函数”，称常数为函数的 “和谐数”.（1）判断函数是否为“和谐函数”？答： . 是（填“是”或“否”）（2分）如果是，写出它的一个
12、“和谐数”： . （4分）（2）请先学习下面的证明方法：证明：函数，为“和谐函数”，是其“和谐数”；证明过程如下：对任意，令，即，得. ，.即对任意，存在唯一的，使得 . 为“和谐函数”， 是其“和谐数”.参照上述证明过程证明：函数为“和谐函数”；证明：由定义可知：函数的“和谐数”为5.对任意，令，即，得，. ， ，.即对任意，存在唯一的，使得 . 为“和谐函数”，是其“和谐数”. （10分）（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明.解：函数不是“和谐函数”，证明如下：对任意的常数，)若，则对于，显然不存在，使得成立，所以不是函数的和谐数；) 若，则对于，由得，即不存在，使 成立. 所以也不是函数的和谐数.综上所述，函数不是“和谐函数”. （18分）写出其它的非和谐函数，如：、等，可参照给分.