1、高考资源网（） 您身边的高考专家57三角函数的应用内容标准学科素养1.会用三角函数解决一些简单的实际问题数学建模数学运算2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.授课提示：对应学生用书第116页教材提炼知识点科学试验、生活中的三角函数现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么可以考虑什么函数来描述？ 知识梳理简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T，它是做简谐运动的物体往复运动
2、一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x称为相位；x0时的相位称为初相自主检测1函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3，B6，C3，3， D6，3，答案：B2已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6， BT6，CT6， DT6，答案：A3弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的()A频率为1.5 HzB周期为1.5 sC周期为6 sD频率为6 Hz答案：B4如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s
3、 的函数关系式为s6sin(2t)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为_答案：1 s授课提示：对应学生用书第117页探究一三角函数在物理中的应用例1教材P242拓展探究(1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题小球在开始振动(t0)时的位移是多少？小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？经过多长时间小球往复振动一次？(2)已知电流I与时间t的关系式为IAsin(t).如图是IAsin(t)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；如果t在任何一段秒
4、的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解析(1)列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.(2)由题图可知A300.设t1，t2，则周期T2(t2t1)2，150.又当t时，I0，即sin0，而|，.故所求函数的解析式为I300sin.依题意，周期T，即(0)，300942.48.又N*，故的最小正整数值为943.三角函数解决物理
5、问题的三个关键量(1)物体运动的初始位置，即初相(2)完成一次运动需要的时间，即周期(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅探究二三角函数在生活中的应用例2估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)sin (t79)12，其中t(tZ)表示某天的序号，t0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关(1)在波士顿，k6，试画出当0t365时函数的图象；(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时解析(1)先用五点法作出f(t)3sin (t79)的简图，由(t79)0及(t79)2，得t79及t444.当t0时，f(0)3s
6、in (79)3sin(1.36)2.9.f(x)的周期为365，f(365)2.9.将f(t)在0,365上的图象向上平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短(3)D(t)10.5，即3sin (t79)1210.5，sin (t79)，t0,365292t49,29249243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解某
7、实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解析：(1)因为f(t)102sin，又0t24，所以t，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，所以t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降
8、温探究三根据数据拟合函数例3某港口水深y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)，下面是某日水深的数据.t/小时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAsin tb的图象(1)试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
9、解析(1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数yf(t)的周期T12，振幅A3，b10，y3sin t10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于56.511.5米，由y11.5，得3sin t1011.5，sin t.0t24，0t4.由得t或t.化简得1t5或13t17.该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和
10、控制，以便为决策和管理提供依据已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcos tb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，T12，所以.又t0时，y1.5，所以Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以
11、振幅为，函数解析式为ycos t1(0t24)(2)因为y1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycos t11，cos t0,2kt2k，kZ，即12k3t12k3(kZ)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.授课提示：对应学生用书第118页一、“众人皆醉我独醒”三角换元的独特之用换元法又称辅助元素法，“三角换元”是其中一种换元方法，即把某个式子用某一三角函数表示，将问题转化为三角函数问题，也是三角函数的一种应用典例实数x、y满足1，若xyk0恒成立，求k的取值范围解析由1，设则代入不等式xyk0得3cos 4sin k0，即k
12、3cos 4sin 5sin()，所以k5.二、因对yAsin(x)表示的实际意义理解不清致误典例弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移解析(1)设振幅为A，则2A20 cm，所以A10 cm.设周期为T，则0.5 s，所以T1，所以f1 Hz.(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s54A20A2010200 (cm)5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.纠错心得1.本题易出现以下两方面错误：(1)没有正确理解振幅的含义，且以为从B点到达C点就是运动了一个周期；(2)混淆了路程与位移的概念2在求解三角函数模型的简单应用时，常用正弦函数模型yAsin(x)来表示运动的位移与随时间x变化规律其中：(1)A为振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移：(2)T为周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f为频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数- 9 - 版权所有高考资源网
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