1、高考资源网（） 您身边的高考专家52三角函数的概念52.1三角函数的概念内容标准学科素养1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义直观想象数学抽象数学运算2.掌握三角函数在各象限的符号3.掌握诱导公式(一)及其应用.授课提示：对应学生用书第81页教材提炼知识点一三角函数的定义如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任
2、意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数(sine function)，记作sin ，即ysin_；把点P的横坐标x叫做的余弦函数(cosine function)，记作cos ，即xcos ；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)称为正切函数(tangent function)我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数ysin_x，xR；余弦函数ycos x，xR；正切函数ytan x，xk(kZ)(2)利用角终边上一点的坐标定义三角函数如
3、图所示，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan .其中r.知识点二三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？ 知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点三诱导公式与终边有什么关系？sin与sin.cos与cos，tan与tan之间有什么关系？ 知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值相等由此得到一组公式(公式一)：sin(k2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_，其中kZ.自主检测1已知角的终边与单位圆交于点，则tan
4、等于()ABC D答案：D2若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D3已知角的终边经过点(4,3)，则cos 等于()A. B.C D答案：D4sin的值为_答案：授课提示：对应学生用书第82页探究一利用三角函数定义求三角函数值例1教材P178例1拓展探究(1)已知角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，则2sin cos _.解析由题意知x4a，y3a，故r5|a|.当a0时，r5a，sin ，cos ，则2sin cos .当a0时，r5a，2sin cos 2.综上，2sin cos 答案(2)求的正弦、余弦和正切值解析在直角
5、坐标系中作AOB，如图AOB的终边OB与单位圆的交点B.坐标为，sin，cos，tan.(3)已知点M是圆x2y21上一点，以射线OM为终边的角的正弦值为，求cos 和tan 的值解析设点M的坐标为(x1，y1)由题意可知，sin ，即y1.点M在圆x2y21上，xy1，即x21，解得x1或x1.cos ，tan 1，或cos ，tan 1.(4)已知角的终边在直线y2x上，求sin ，cos ，tan 的值解析法一：(单位圆)设直线y2x与单位圆x2y21的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由得当角的终边在第一象限时，cos x1，sin y1，tan 2.当角的终边在第三象限时，
6、cos x2，sin y2，tan 2.法二：(定义法)在直线y2x上任取一点P(t,2t)(t0)，则r|t|.若t0时，则rt，从而sin ，cos ，tan 2.若t0，则rt，从而sin ，cos ，tan 2.1.已知角的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值解法二：第一步，取点，在角的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，第二步，计算r：r|OP|，第三步，求值：由sin ，cos ，tan (x0)求值2当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数
7、进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题例2判断下列各式的符号(1)sin 2 005cos 2 006tan 2 007；(2)tan 191cos 191；(3)sin 2cos 3tan 4.解析(1)2 0051 8002055360205，2 0065360206，2 0075360207，它们都是第三象限角，sin 2 0050，cos 2 0060，sin 2 005cos 2 006tan 2 0070.(2)191角是第三象限角，tan 1910，cos 1910.(3)2，3，40，cos 30.sin 2cos 3tan 40.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确
8、定角所在的象限(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断已知cos tan 0，那么角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角解析：cos tan 0，或由得角为第三象限角由得角为第四象限角角为第三或第四象限角答案：C探究三利用公式一求值例3求下列各式的值：(1)cos tan()；(2)sin 810tan 765cos 360.解析(1)原式cos(8)tan(4)cos tan 1.(2)原式sin(902360)tan(452360)cos 360sin 90tan 4511111.利用诱导公式求解任意角的
9、三角函数的步骤sin(1 740)cos 1 470cos(660)sin 750tan 405.解析：原式sin(605360)cos(304360)cos(602360)sin(302360)tan(45360)sin 60cos 30cos 60sin 30tan 4512.授课提示：对应学生用书第83页一、单位圆的妙用比较函数值的大小在单位圆中，由三角函数的定义可知sin y，cos x，tan .如果在第一象限，作PMx轴于M点则|PM|y，|OM|x.过A点作QO的切线，交OP的延长线于T点由于，即tan ，OA1，tan AT.即此时，可用线段MP、OM、AT的长度来表示sin
10、、cos 、tan 的值典例如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 解析在坐标系中作AOC，OC与单位圆的交点为C.作AOP，OP与单位圆的交点为P.如图作PMx轴于M点，由OP和OC相比较可知MPOM.过A点作切线AT，则ATMP.又sin MP，cos OM，tan AT.tan sin cos .故选A.答案A二、利用三角函数的定义运算出错典例已知角的终边上一点P(4t，3t)(t0)，求的各三角函数值解析因为点P的坐标是(4t，3t)且t0，所以r|PO|5|t|.当t0时，是第四象限角，r|PO|5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，是第二象限角，r|PO|5t，sin ，cos ，tan .纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错因为t0，所以分t0和t0两种情况讨论- 9 - 版权所有高考资源网
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