1、第八章8.68.6.3第1课时A组素养自测一、选择题1已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面(C)A有1个B有2个C有无数个D不存在解析经过l的平面都与垂直，而经过l的平面有无数个，故选C2在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值等于(C)ABCD解析如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，A1OA为二面角A1BDA的平面角.设A1Aa，则AOa，所以tanA1OA.3在棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(C)ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面
2、ABC解析可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A成立；由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，DF平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，平面ABC平面PAE，故D成立.4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是(B)AACBBDCA1D1DA1A解析在正方体中，AA1平面ABCD，AA1BD.又正方形ABCD中，BDAC，且AA1ACA，BD平面AA1C1C.EA1C1，E平面AA1C1C，CE平面AA1C1C，BDCE.5(多选)在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD
3、，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(ABD)A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PAD解析对于A选项，ABPA，ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD，又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD；对于B选项，由BCAB，BCPA，且ABPAA，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB；对于D选项，CDAD，CDPA，且PAADA，所以CD平面PAD，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD.二、填空题6如果规定：xy，yz，则xz，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面，关于相交、垂直、平行这三
4、种关系中具有传递性的是_平行_.解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性.7在三棱锥PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如右图所示，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_3_对.解析PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PA平面PAB，PA平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC.同理可证：平面PAB平面PAC.8在三棱锥SABC中，AC平面SBC，已知SCa，BCa，SB2a，则二面角SACB的大小为_90_.解析因为AC平面SBC，SC，BC平面SBC，ACSC，ACBC，二面角
5、SACB的平面角为SCB.又SCa，BCa，SB2a，所以SB2SC2BC2，故SCB为直角三角形，SCB90.三、解答题9如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M是AE的中点.(1)求证：DEDA；(2)求证：平面BDM平面ECA.解析(1)取EC的中点F，连接DF.CE平面ABC，CEBC.易知DFBC，CEDF.BDCE，BD平面ABC.在RtEFD和RtDBA中，EFCEDB，DFBCAB，RtEFDRtDBA.故DEDA.(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MNCF.BDCF，MNBD，N平面BDM.EC平面ABC，ECBN.又ACBN，ECAC
6、C，BN平面ECA.又BN平面BDM，平面BDM平面ECA.10(2020河北衡水中学高一联考)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABDC，ABC90，PAB120，DCPC2，PAABBC1(1)证明：平面PAB平面PBC.(2)求四棱锥PABCD的体积.解析(1)证明：在PAB中，由PAAB1，PAB120，得PB.因为PC2，BC1，所以PB2BC2PC2，即BCPB.因为ABC90，所以BCAB.因为PBABB，PB平面PAB，AB平面PAB，所以BC平面PAB.又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.(2)在平面PAB内，过点P作PEAB，交BA的延长线于点E，如图
7、所示.由(1)知BC平面PAB，所以BCPE.因为ABBCB，所以PE平面ABCD.因为在RtPEA中，PA1，PAE60，所以PE.因为四边形ABCD是直角梯形，所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD(12)1.B组素养提升一、选择题1下列命题中正确的是(C)A若平面和分别过两条互相垂直的直线，则B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.2(2020大连海湾高级中学高
8、一检测)已知m，n是两条不重合的直线，是不重合的平面，下面四个结论中正确的是(D)A若m，n，mn，则B若m，mn，则nC若mn，m，则nD若m，mn，n，则解析A中，mn可得与相交，故A错；B中，m，mn，可得n或n，故B错；C中，mn，m，则n或n，故C错；D中，m，mn，n，则，故D正确.3在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为(D)A30B60C30或150D60或120解析如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或12
9、0.4如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(A)AAHEFH所在平面BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面解析由平面图得：AHHE，AHHF，AH平面HEF，选A二、填空题5在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为_60_.解析取AB中点M，连接PM，MC，则PMAB，CMAB，PMC就是二面角PABC的平面角.在PAB中，PM1，同理MC1，则PMC是等边三角形，PMC60.6如
10、图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_BMPC(其他合理即可)_时，平面MBD平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)解析四边形ABCD的边长相等，四边形ABCD为菱形.ACBD，又PA平面ABCD，PABD，BD平面PAC，BDPC.若PC平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线.当BMPC时，PC平面BDM.平面PCD平面BDM.三、解答题7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM平面A1B1M.解析由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1，又BM
11、平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M为CC1的中点，所以C1MCM1在RtB1C1M中，B1M，同理BM，又B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB1，所以BM平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.8(2019全国卷文，19)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.解析(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为.
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