1、互为反函数的函数图象间的关系基础巩固 站起来，拿得到！1.点(3,5)在函数y=ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a、b的值分别为( )A.a=-1,b=7 B.a=-1,b=-8 C.a=-1,b=8 D.以上都不对答案：C解析：由已知得点(3,5)和点(5,3)在直线y=ax+b上,2.已知f(x)=的图象关于直线y=x对称,则a的取值是( )A.-1 B.1 C.-2 D.0答案：A解析：由y=,得x=,故f-1(x)=,因函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与其反函数f-1(x)为同一函数,易得a=-1.3.如图,设函数y=1-(-1x0),则函数y=f-1(x)的
2、图象是图中的( )答案：B解析：易知点(-,1-)在原函数图象上,故(1-,-)在其反函数图象上,首先排除A、C,又1-,故点(1-,-)在直线x=左边,排除D,选B.4.(四川成都模拟)已知f(x)=,且f-1(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则a的值为( )A. B.2 C. D.3答案：B解析：f-1(x)=,f-1(x-1)=,其对称中心是(0,a+1),a+1=3a=2.5.已知函数f(x)存在反函数,若点(a,b)在f(x)的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的点是( )A.(f-1(b),b) B.(a,f-1(a)C.(f(a),f-1(b) D.(f-1(b),f(
3、a)答案：C解析：由(a,b)在y=f(x)图象上,则(b,a)在y=f-1(x)图象上,且b=f(a),则a=f-1(b).6.设函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x)=(x-1)2(x1),则g(x)=_.答案：1-(x0)解析：由已知得函数y=g(x)为y=f(x)的反函数,由y=(x-1)2(x1),得x=1-,故g(x)=f-1(x)=1-(x0).7.试求函数y=1+2x-x2(x1)和它的反函数的图象的交点.解：由y=1+2x-x2(x1)求得其反函数为y=1+(x2),由得1+2x-x2=1+(1x2),即2x-x2=,则x(2-x)= ,x()2=
4、,2-x=0或x=1.x=2或x2(2-x)=1.由x2(2-x)=1,得2x2-x3=1,即(x2-1)+(x2-x3)=0,(x-1)(x+1-x2)=0,x=1或x=.1x2,x=2或x=1或x=.y=f(x)和y=f-1(x)的交点有3个,分别是(1,2)、(2,1)、(,).能力提升 踮起脚,抓得住!8.对于0,1上所有x的值,函数f(x)=x2与其反函数f-1(x)的相应函数值一定成立的关系式为( )A.f(x)f-1(x) B.f(x)f-1(x)C.f(x)f-1(x) D.f(x)=f-1(x)答案：B解析：结合f(x)与f-1(x)图象即得.9.函数y=f(x)在-1,2上
5、的图象如图所示,则f-1(x)x+1的解集为( )A.-1,0 B.0,1C.-1,- D.-1,2答案：C解析：由已知图象易得f(x)=故f-1(x)=(1)当0x1时,f-1(x)x+1x-1x+1x.(2)当-1x-1)的图象与其反函数的图象的交点坐标为_.答案：(0,0),(1,1)解析：由y=,得x=.由x-1,得1,即y2.其反函数为f-1(x)=(x2).由得12.已知函数f(x)=,(1)求反函数f-1(x);(2)研究f-1(x)的单调性;(3)在同一坐标系中,画出f(x)与f-1(x)的图象.解：(1)f(x)=y,x+5=y2,且y0.x=y2-5.则f(x)=的反函数为
6、y=f-1(x)=x2-5(x0).(2)由二次函数的图象知当x0时,f-1(x)为增函数.(3)图象如图所示.13.已知函数f(x)=2x2-4x+1,x-1,0.(1)求f-1(x);(2)作出y=f(x)和y=f-1(x)的图象,并判断其单调性;(3)解不等式:f-1(7x)f-1(x+1).解：(1)设y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,2(x-1)2=y+1.x-1,0,x-1-2,-1.x-1=-.f-1(x)=1-,x1,7.(2)y=f(x)和y=f-1(x)的图象见图.y=f(x)在-1,0上是减函数,y=f-1(x)在1,7上是减函数.(3)由(2)知y=f-1(x)
7、在1,7上是减函数,f-1(7x)x+11.解得x1,即原不等式的解集为x|x1.拓展应用 跳一跳,够得着!14.已知函数f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点( )A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3)答案：A解析：f(x)的图象过点(0,1),f(0)=1,即f(4-4)=1.f(4-x)图象过点(4,1).f(4-x)的反函数图象过点(1,4).15.设函数f(x)=,已知函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则g(3)=_.答案：解析：y=f-1(x+1)x+1=f(y)x=f(y)-1,故y=f-1(x+
8、1)的反函数为g(x)=f(x)-1=,则g(3)=.16.已知函数f(x)=.(1)证明函数f(x)在定义域上有反函数,并求出反函数;(2)反函数的图象与直线y=x有无交点?(1)证明:f(x)的定义域为正实数集,当0x1x2时,f(x1)-f(x2)=()-()=()(1+)0.f(x1)f(x2),即f(x)在(0,+)上是增函数.f(x)有反函数.当x(0,+)时,(-,+).反函数的定义域为R.由y=,得x-y-1=0.解得=.y,y-0,=,x=(y+)2.f-1(x)=(x+)2(xR).(2)解：y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称,故只需判断y=f(x)与y=x有无交点.由得x=.x(1-)=1.当0x1时,01-1.0x(1-)1,此时方程无实数根.当x1时,x(1-)0,方程无实根.y=f(x)与y=x无交点.从而y=f-1(x)与y=x无交点.