1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(难点、易错点)1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学核心素养2通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是 的无限延展思考：一个平面能否把空
2、间分成两部分？提示 因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用 画出来如图.平行四边形45角2 倍虚线3平面的表示法上图的平面可表示为 、或 平面 平面 ABCD平面 AC平面 BD4平面的基本性质公理内容图形符号 公理1如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且 A，B 两点l公理 2过 的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线存在唯一的平面 使A，B，C 公理 3如果两个不重合的平
3、面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P，P 不在同一条直线上公共直线l 且 Pl思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示 不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面1用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 外”，正确的是()AAl，l BAl，lCAl，lDAl，l答案 BA 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面 MP，选 A.2如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面不能记为()A平面 MNB平面 NQPC平面 D平面 MNPQD 当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面3任意三点可确定平面的个数是()A0 B1 C2
4、 D1 或无数个4将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言表示l，Al，AB，AC.解 文字语言叙述：点 A 在平面 与平面 的交线 l 上，直线AB，AC 分别在平面，内图形语言表示(如图所示).合 作 探 究 释 疑 难 立体几何三种语言的相互转化【例 1】用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面 与 相交于直线 l，直线 a 与，分别相交于点 A，B；(2)点 A，B 在平面 内，直线 a 与平面 交于点 C，点 C 不在直线 AB 上解(1)用符号表示：l，aA，aB，如图(2)用符号表示：A，B，aC，CAB，如图三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一
5、个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟进训练1用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面，相交于一点 P，且平面 与平面 相交于 PA，平面 与平面 相交于 PB，平面 与平面 相交于 PC；(2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC.解(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图.(2)符
6、号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD，平面 ABC平面ADCAC，图形表示：如图.点线共面问题【例 2】如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.证明 PQa，PQ 与 a 确定一个平面.直线 a，点 P.Pb，b，P.又a，与 重合PQ.解决点线共面问题的基本方法：跟进训练2求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内解 已知：ABACA，ABBCB，ACBCC.求证：直线 AB，BC，AC 共面证明：法一：因为 ACABA，所以直线 AB，AC 可确定一个平面.因为 BAB，CAC，所以 B，C，故 BC.因此直线 AB，BC，AC 都在平面 内，所以直线 AB，B
7、C，AC 共面法二：因为 A 不在直线 BC 上，所以点 A 和直线 BC 可确定一个平面.因为 BBC，所以 B，又 A，所以 AB.同理 AC，故直线 AB，BC，AC 共面法三：因为 A，B，C 三点不在同一条直线上，所以 A，B，C 三点可以确定一个平面.因为 A，B，所以 AB，同理 BC，AC，故直线 AB，BC，AC 共面点共线、线共点问题探究问题1如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设 A1C平面 ABC1D1E.能否判断点 E 在平面 A1BCD1 内？提示 如图，连接 BD1，A1C平面 ABC1D1E，EA1C，E平面 ABC1D1.A1C平面 A1BCD1，
8、E平面 A1BCD1.2上述问题中，你能证明 B，E，D1 三点共线吗？提示 由于平面 A1BCD1 与平面 ABC1D1 交于直线 BD1，又EBD1，根据公理 3 可知 B，E，D1 三点共线【例 3】如图，已知平面，且 l.设梯形 ABCD中，ADBC，且 AB，CD.求证：AB，CD，l 共点(相交于一点).思路探究：梯形的两腰 找交点探求交点与面，的位置关系得结论证明 因为梯形 ABCD 中，ADBC，所以 AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰.所以 AB，CD 必定相交于一点.设 ABCDM.又因为 AB，CD，所以 M，M.所以 M.又因为 l，所以 Ml.即 AB，CD，l 共
9、点(相交于一点).本例变为：如图所示，在空间四边形各边 AD、AB、BC、CD 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF、GH 交于一点 P，求证：点 P在直线 BD 上证明 若 EF、GH 交于一点 P，则 E，F，G，H 四点共面，又因为 EF平面 ABD，GH平面 CBD，平面 ABD平面 CBDBD，所以 P平面 ABD，且 P平面 CBD，由公理 3 可得 PBD.所以点 P 在直线 BD 上.1证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知，这些点都在两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上2证
10、明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点课 堂 小 结 提 素 养 1立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换2三个公理的作用公理 1判定直线在平面内的依据；公理 2判定点共面、线共面的依据；公理 3判定点共线、线共点的依据3证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上1有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平
11、面的厚度可以是 0.001 cm.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4B 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的故选 B.D 三条直线若交于同一点，可以有多个平面，共线的三个点可以有多个平面，这里三条两两相交且不共点的直线确定一个平面故应选 D.2在空间中，可以确定一个平面的条件是()A两两相交的三条直线B.三条直线其中的一条直线与另外两条分别相交C.三个点D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点B 点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面 内，点 B 在平面 内，表示为 Aa，a，B.3如果点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面 内，点 B 在平面 内，则可以表示为()AAa，a，BBAa，a，BCAa，a，BDAa，a，B4如图，已知 D，E 是ABC 的边 AC，BC 上的点，平面 经过 D，E 两点，若直线 AB 与平面 的交点是 P，求证：点 P 在直线DE 上证明 因为 PAB，AB平面 ABC，所以 P平面 ABC.又 P，平面 ABC平面 DE，所以 P直线 DE.所以点 P 在直线 DE 上.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!