1、第八节曲线与方程1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0，并化简；(4)查漏补缺1(基本方法：定义法求轨迹方程)到点F(0，4)的距离比到直线y5的距离小1的动点M的轨迹方程为(
2、)A.y16x2 By16x2Cx216y Dx216y答案：C2(基础知识：曲线与方程的关系)在ABC中，A(0，3)，B(2，0)，C(2，0)，则中线AO(O为原点)所在的方程为_答案：x0(0y3)3(基本方法：直接法求轨迹)已知A(5，0)，B(5，0)，则满足kACkBC1的点C的轨迹方程为_答案：x2y225(去掉A、B两点)4(基本方法：代入法求轨迹方程)已知O的方程为x2y24，过M(4，0)的直线与O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为_答案：(x2)2y24(0x1)5(基本能力：圆的方程)曲线x2y2|x|y|所围成的封闭图形的面积为_答案：2题型一定义法求轨迹
3、方程 典例剖析典例(1)(2021内蒙古呼和浩特调研)已知椭圆1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|MF2|2a2c，所以|PF1|PO|(|MF1|MF2|)ac，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆答案：B(2)(2021北京模拟)ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析：如图所示，ABC的内切圆P与三边的切点分别为E、F、G.P在x3上，|AC|BC|，|CA|CB|GA|FB|EA|EB|(53)(5
4、3)6，C点轨迹是以A、B为焦点的双曲线(右支)，2a6，a3，c5，b4，方程为1(x3).答案：1(x3)方法总结破解此类题的关键点(1)定条件，确定动点所满足的条件类型，对其适当化简整理(2)定型，根据动点所满足的条件，与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义作比较，判断动点轨迹类型(3)定量，设出轨迹方程，并根据已知求出方程中的待定系数，从而求出动点轨迹方程对点训练已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为_解析：由题意可知，|PM|r1，|PN|3r，|PM|PN|4且MN2，P点轨迹是以M，N为焦点的椭圆2a4，a2，c1
5、，b23.圆心P的轨迹方程为1(x2).答案：1(x2)题型二直接法求曲线方程 典例剖析典例(1)已知点F(0，1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24y By23xCx22y Dy24x解析：设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.答案：A(2)已知动点P(x，y)与两定点M(1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数(0).求动点P的轨迹C的方程；试根据的取值情况讨论轨迹C的形状解析：由题意可知，直线PM
6、与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPMkPN，整理得x21(0，x1).即动点P的轨迹C的方程为x21(0，x1).当0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(1，0)，(1，0)；当1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).方法总结直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系
7、这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性对点训练已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程解析：如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意知|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0).当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0，0)也满足方程y28x.动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.题型三代入法求曲线方程 典例剖析典例已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足PF1PF2，则动点Q的轨迹
8、方程是_.解析：如图所示，作P关于O的对称点M，连接F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，所以PF1PF22 2.又PF1PF2，所以.设Q(x，y)，则，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.答案：1方法总结相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程(4)检验：注意检验所求方程是否符合题意对点训练已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是_解析：因为抛物线x24y的焦点F(0，1)
9、，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x，2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y1 1(2020高考全国卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点若1，则点C的轨迹为()A圆 B椭圆C抛物线 D直线解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设点A，B分别为(a，0)，(a，0)(a0)，点C为(x，y)，则(xa，y)，(xa，y)，所以(xa)(xa)yyx2y2a21，整理得x2y2a21.因此点C的轨迹为圆答案：A2(2019高考全国卷节选)已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C
10、.求C的方程，并说明C是什么曲线解析：由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点若动点P(x0，y0)为椭圆C：1外一点，P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解析：当切线的斜率存在时，设一条切线的方程为yy0k(xx0)，即ykx(y0kx0).由消去y并整理得(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)2360，由18k(y0kx0)24(9k24)9(y0kx0)2360，得(y0kx0)29k240，即(x9)k22kx0y0(y4)0，则两条切线的斜率k1、k2是方程的根k1k21，xy13.当两切线均与坐标轴垂直时，P为(3，2)也满足xy13.综上可知，点P的轨迹方程为x2y213.
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