1、第四节基本不等式1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立).2基本不等式：(1)基本不等式成立的条件是a0，b0(2)等号成立的条件是：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2 (简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).1基本不等式的两种常用变形形式(1)ab(a，bR，当且仅当ab时取等号).(2)ab2 (a0，b0，当且仅当ab时取等号).2几个重要的结论
2、(1).(2)2(ab0).(3) (a0，b0).1(基础知识：求积的最值)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82答案：C2(基础知识：不等式的应用条件)若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2答案：D3(基本方法：构造不等式的定值)已知x1，则x的最小值为_答案：54(基本能力：“1”的代换)若1(a0，b0)，则ab的最小值为_答案：45(基本应用：在实际问题中的应用)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储
3、费用之和最小，则x的值是_答案：30题型一利用基本不等式求最值典例剖析类型 1直接应用基本不等式求最值例1(1)当x0时，函数f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2解析：f(x)1.当且仅当x，x0，即x1时取等号，所以f(x)有最大值1.答案：B(2)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析：法一：由已知得 ，且a0，b0，ab b2a2 ，ab2 .法二：由题设易知a0，b0，2 ，即ab2.答案：C类型 2配凑法例2(1)已知x，则f(x)4x2的最小值为_解析：因为x，所以4x50，所以f(x)4x2(4x5)32 3235，当且仅当4x5，即
4、x时取等号，所以f(x)的最小值为5.答案：5(2)函数y(x1)的最小值为_解析：y(x1)22 222(x1).当且仅当x1，即x1时，等号成立答案：22类型 3“1”的代换例3(1)(2020陕西西安模拟)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2 B2 C4 D2 解析：由lg 2xlg 8ylg 2得，lg 2x3ylg 2，x3y1，(x3y)24.故选C.答案：C(2)(一题多解)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A8 B4C2 D0解析：法一(构造目标不等式法)：x0，y0，xy(x2y)，又x2yxy，x2y.由x0，y0知x2y0
5、，x2y8，x2y的最小值为8.法二(常数代换法)：由x2yxy0得x2yxy，即1，x2y(x2y)442 8，当且仅当x2y时取等号法三(消元法)：由x2yxy0得y，又x0，y0，x2，于是x2yxx2x248，当且仅当即x4时取等号答案：A方法总结1基本不等式应用的前提：“一正”“二定”“三相等”2要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式3条件不等式最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法4应用基本不等式的注意事项：(1)利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式的前提条件(2)尽量避免多次使用
6、基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致题组突破1函数y(x1)的最小值为_解析：因为yx1x12，因为x1，所以x10，所以y220，当且仅当x0时，等号成立答案：02已知x0，y0且x3y3，求的最小值解析：由x3y3得(x3y)1，(x3y)，当且仅当时取“”的最小值是.题型二基本不等式的综合应用 典例剖析类型 1判断不等关系例1(2020江西南昌调研)已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aab2 Ba2b22abC2 D2解析：对于选项A，当a，b均为负数时，ab2 不成立；对于选项B，当ab时，a2b22ab不成立；对于选项C，当a，b异号时，2不成立；对
7、于选项D，因为，同号，所以2 2(当且仅当|a|b|时取等号)，即2恒成立答案：D类型 2求参数问题例2对任意m0，n0，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A B2C4 D解析：对任意m0，n0，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a恒成立2 2，当且仅当时取等号，a2，故a的最大值为2.答案：B类型 3与其他知识的综合应用例3设等差数列an的公差为d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_解析：ana1(n1)dn，Sn，所以，当且仅当n4时取等号，所以的最小值是.答案：类型4基本不等式的实际应用例4要制作一个容积为4立方米，高为1米的无盖长方体容器已知该容器的底面
8、造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元解析：设底面相邻两边长分别为x米，y米，总造价为T元，则Vxy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160(当且仅当xy时取等号).故该容器的最低总造价是160元答案：160方法总结用基本不等式求解其他问题(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围题组突破1(2021河北石家庄模拟
9、)若a，b是正数，直线2axby20被圆x2y24截得的弦长为2，则ta取得最大值时a的值为()A BC D解析：因为圆心到直线的距离d，则直线被圆截得的弦长L222，所以4a2b24.则ta(2a)8a212(44a2)，当且仅当时等号成立，此时a，故选D.答案：D2(2020贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式2.(1)求xy的最小值；(2)若3xym2m恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)22，即xy3，当且仅当x1，y3时等号成立，所以xy的最小值为3.(2)3xy(3xy)6，当且仅当x1，y3时等号成立，即(3xy)min6，所以m2m6，所以2m3.3某学校为了支持生物课程基地研
10、究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解析：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8，450).(2)因为8x450，所以2x2240，当且仅当x60时等号成立，从而S676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最
11、大，最大为676 m2.1(2020高考山东卷)(多选题)已知a0，b0，且ab1，则()Aa2b2 B2abClog2alog2b2 D 解析：因为a0，b0，ab1，所以ab2，当且仅当ab时，等号成立，即有ab.对于选项A，a2b2(ab)22ab12ab12，故选项A正确；对于选项B，2ab22a122a，因为a0，所以22a1，即2ab，故选项B正确；对于选项C，log2alog2blog2ablog22，故选项C错误；对于选项D，由()2ab2122，得，故选项D正确综上可知，正确的选项为ABD.答案：ABD2(2020高考江苏卷)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_解析：法一：由题意知y0.由5x2y2y41，可得x2，所以x2y2y22 ，当且仅当4y2，即y时取等号，所以x2y2的最小值为.法二：设x2y2t0，则x2ty2.因为5x2y2y41，所以5(ty2)y2y41，所以4y45ty210.由25t2160，解得t，故x2y2的最小值为.答案：已知a0，b0，c0且abc1.求证：(ab)3(bc)3(ca)324.证明：a0，b0，c0，abc1，(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)322224.当且仅当abc1时“”成立，故有(ab)3(bc)3(ca)324.
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