1、第六节正弦定理和余弦定理及解三角形1正弦定理2R，其中R是ABC的外接圆半径正弦定理的常用变形：(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C.(2)sin A，sin B，sin C.(3)abcsin Asin Bsin C.2余弦定理a2b2c22bc_cos_A，cos A；b2a2c22ac_cos_B，cos B；c2a2b22ab_cos_C，cos C3勾股定理在ABC中，C90a2b2c24三角形的面积公式SABCahabhbchcab_sin_Cbc_sin_Aac_sin_B5实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成
2、的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角的范围是0360续表术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度北偏东m南偏西n坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比1射影定理b cos Cc cos Ba，b cos Aa cos Bc，a cos Cc cos Ab.2三个角A，B，C与诱导公式的“消角”关系sin (AB)sin C，cos (AB)cos C，sin cos
3、，cos sin .3特殊的面积公式(1)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径).(2)S，P(abc).(3)S2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接圆半径).1(基本方法：正弦定理)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4 B2C D答案：B2(基础知识：正、余弦定理)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案：C3(基础知识：三角形的面积公式)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为_答案：24(基本能力：正弦定理)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b si
4、nAa cos B0，则B_答案：5(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的北偏西_，西偏北_答案：1080题型一正、余弦定理的基本应用 典例剖析类型 1正弦定理及其应用例1在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c1，B45，cos A，则b等于()A BC D解析：因为cos A，所以sin A，所以sin Csin (AB)sin (AB)sin A cos Bcos A sin Bcos 45sin 45.由正弦定理，得bsin 45.答案：C类型 2余弦定理及其应用例2
5、已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b()A2 B42C42 D解析：在ABC中，易知B30，由余弦定理b2a2c22ac cos 304，b2.答案：A类型 3正、余弦定理混合应用例3已知ABC满足sin2AsinA sin Bsin2Bsin2C，则C的大小是_解析：因为sin2AsinA sin Bsin2Bsin2C，所以a2abb2c2，即a2b2c2ab，故cosC(0C)，所以C.答案：方法总结 1求解三角形的一般方法：方法解读题型正弦定理法直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边；(2)已知两边及一边对角余弦定理法直接利用余弦定理(
6、变式)求边、角(1)已知两边及夹角；(2)已知三边2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式ab sin Ab sin Aabababab解的个数12110题组突破1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin B cos Cc sin B cos Ab，且ab，则B()A BC D解析：a sin B cos Cc sin B cos Ab，由正弦定理得sin A sin B cos Csin C sin B cos Asin B，即sin B(sin A cos Csin C cos A)sin B.sin B0，sin (AC)，即
7、sin B.ab，AB，即B为锐角，B.答案：A2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2bca2，bca2，则C的大小是()A或 BC D解析：b2c2bca2，b2c2a2bc，cos A.又A(0，)，A.由b2c2a2bc及bca2得b2c2bcbc，即b24bcc20.(bc)(bc)0，解得cb或bc.当cb时，由bca2得ab，ABC为等腰三角形，且AB，C；当bc时，由bca2得ac，ABC是以B为顶点的等腰三角形，AC，C.综上，C的大小为或.答案：A3(2021安庆模拟)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin 2Aa sin B
8、，且c2b，则等于()A BC D解析：由正弦定理及b sin 2Aa sin B，得2sin B sin Acos Asin A sin B，又sin A0，sin B0，则cos A.又c2b，由余弦定理得a2b2c22bc cos Ab24b24b23b2，得.答案：D题型二正、余弦定理的综合应用 典例剖析类型 1判断三角形的形状例1(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b cos Cc cos Ba sin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：法一：因为b cos Cc cos Bbca，所以a sin Aa，即sin A1
9、，故A，因此ABC是直角三角形法二：因为b cos Cc cos Ba sin A，所以sin B cos Csin C cos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sinAsin2A，故sinA1，即A，因此ABC是直角三角形法三：由射影定理可得b cos Cc cos Ba，所以aa sin A，所以sin A1，即A，所以ABC为直角三角形答案：B(2)在ABC中，若2sin A cos Bsin C，那么ABC的形状为_解析：法一：由已知得2sin A cos Bsin Csin (AB)sin A cos Bcos A sin B，即sin (AB)0，因为AB，所以AB，
10、所以ABC为等腰三角形法二：由正弦定理得2a cos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab，所以ABC为等腰三角形答案：等腰三角形类型 2有关三角形的周长与面积例2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2bc)cos Aa cos C.(1)求A；(2)若a，ABC的面积为3，求ABC的周长解析：(1)由(2bc)cos Aa cos C知22R sin B cos A2R sin C cos A2R cos C sin A，由ABC，得2sin B cos Asin B，因为sin B0，所以cos A.因为 0A，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bc cos A，
11、得13b2c22bc，即(bc)23bc13，因为SABCbcsin Abc3，所以bc12，所以(bc)23613，即bc7，所以ABC的周长为abc7.类型 3有关三角形的边长与角度例3已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin Ab sin Bb sin Ac sin C.(1)求C；(2)若a2，b2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长解析：(1)因为a sin Ab sin Bb sin Ac sin C，所以由正弦定理可得a2b2abc2.由余弦定理得cos C，又0C，所以C.(2)由(1)知C，根据余弦定理可得c2a2b22ab cos C22(2
12、)222220，所以c2.由正弦定理，得，解得sin B，从而cos B.设BC的垂直平分线交BC于点E，因为在RtBDE中，cos B，所以BD.因为点D在线段BC的垂直平分线上，所以CDBD.1求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解方法总结 (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角
13、，利用面积公式列方程求解提醒正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用3判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论边角互化法边化角：用角的三角函数表示边等式两边是边的齐次形式角化边：将解析式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形式或a2b2c2ab题组突破1在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析：因为，所以AB2sin C，BC2sin A，因此AB2BC2sin C4sin A2sin 4sin
14、A5sin Acos A2sin (A).因为，A，所以AB2BC的最大值为2.答案：22若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_，的取值范围是_解析：由余弦定理得cos B，a2c2b22ac cos B又S(a2c2b2)，ac sin B2ac cos B，tan B，B.又C为钝角，CA，0A.由正弦定理得.0tan A， ，2，即2.答案：(2，)题型三解三角形的应用举例 典例剖析类型 1解决测量问题例1(1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为10 m，则树的高度h为()A(5
15、5)m B(3015)mC(1530)m D(153)m解析：在PAB中，由正弦定理，得，因为sin (4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，所以PB5()(m)，所以该树的高度hPB sin 45(55)(m).答案：A(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C.并测量得到一些数据：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_.(其中cos 48.19取近似值
16、)解析：依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得AC2.在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.连接AB(图略)，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBC cos ACB10，AB.答案：类型 2三角形在平面几何中的应用例2如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sin CAD.解析：(1)在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos ABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面积SABCABBCsin ABC1.(2)设CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA
17、，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又sin2cos21，故sin，即sin CAD.方法总结1测量距离问题的解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解提醒解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量2测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角
18、3把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解4寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来题组突破1(2020郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(3010)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30，则通信塔CD的高为_米解析：在RtABM中，AM20，过点A作ANCD于点N(图略)，在RtACN中，因为CAN30，所以ACN60，又在RtCMD中，CMD60，所以
19、MCD30，所以ACM30，在AMC中，AMC105，所以，所以AC6020，所以CN3010，所以CDDNCNABCN3010301060.答案：602在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240
20、x cos 120，解得x2(负值舍去)，故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin ，所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin b sin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解析：(1)由题设及正弦定理得sin A sin sin Bsin A.因为sin A0，所以sin sin B.由ABC180，可得sin cos ，故cos 2sin cos .因为cos 0，所以sin ，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC12
21、0，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.(2021广西南宁模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin Bb cos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解析：(1)由正弦定理得a sinBb sin A，因为a sin A sin Bb cos2Aa，所以b sin2Ab cos2Aa，所以.(2)由余弦定理得b2a2c22ac cosB，因为c2b2a2，所以cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2，所以cos2B，易知cosB0，所以cos B.又0B，所以B.
