1、第五节 向心加速度1理解向心加速度的概念。2知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。3能够运用向心加速度公式求解有关问题。01课前自主学习 1.速度的变化量速度的变化量是指物体速度的增量，也叫速度变化。速度的变化量是_，有大小，也有_。其运算规律遵循平行四边形定则(或三角形定则)。2对圆周运动中加速度的认识圆周运动的速度方向不断改变，一定是 _运动。必定有_。01 矢量02 方向03 变速04 加速度3向心加速度(1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_，这个加速度叫做向心加速度。(2)方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向_，与该点的线速度方向_。向心加速度的方向时刻在_。(3)大
2、小：an_。根据 vr 可得 an_。09 圆心10 圆心11 垂直12 改变13 v2r14 2r(4)作用效果：向心加速度只改变速度的_，不改变速度的_。(5)物理意义：向心加速度是描述线速度_的物理量，线速度方向变化的快慢体现了_。15 方向16 大小17 方向改变快慢18 向心加速度的大小判一判(1)做匀速圆周运动物体所受的合力总指向圆心。()(2)做匀速圆周运动物体的加速度总指向圆心。()(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。()提示：(1)做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心的。(2)做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。(3)做匀速圆周运
3、动物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。提示 想一想匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？在变速圆周运动中呢？提示：在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圆心；在变速圆周运动中，物体的加速度不是向心加速度，加速度不指向圆心，但向心加速度指向圆心。提示 02课堂探究评价 课堂任务 向心加速度的理解仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动 1：地球和小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？提示：地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到力的作用。提示 活动 2：地球受到什么力的作用
4、？这个力可能沿什么方向？地球的加速度沿什么方向？提示：地球受太阳引力的作用做匀速圆周运动，这个力只是在改变速度的方向，不改变速度大小，力应与速度垂直，故引力指向圆心，加速度也必然指向圆心。提示 活动 3：水平面上匀速圆周运动的小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向？小球的加速度沿什么方向？提示：小球受重力、支持力和线的拉力，但重力、支持力合力为零。所以小球受到的合力就是线的拉力，方向指向圆心，故加速度也指向圆心。提示 活动 4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是
5、改变速度的方向，对速度的大小无影响。(3)圆周运动的性质：不论向心加速度 a 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。例 1(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心(1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。提示 (2)向心加速度方向为_。提示：始终指向圆心提示
6、 规范解答 向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故 A、B、D 正确，C 错误。完美答案 ABD答案 对向心加速度的理解(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。2向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。变式训练1 下列说法中正确的是()A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度描述线速度方向变化的
7、快慢C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案 B答案 解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B 正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故 C、D 错误。解析 课堂任务 向心加速度的大小和方向仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动 1：在直线运动中如何表示速度的变化量？提示：在直线运动中速度的变化量如图甲和图乙所示。甲表示加速运动，乙表示减速运动。提示 活动 2：如果速度的方向是变化的，如何表示速度的变化量？提示：在同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量 v1和 v2，从
8、初速度矢量 v1的末端至末速度矢量 v2的末端的有向线段 v 就是 v1到 v2速度的变化量，如图丙。提示 活动 3：设质点沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动，比如从 A 点运动到B 点，极短的一段时间，速度变化量 v 的方向如何？提示：由于是匀速圆周运动，A 点的速度 v1和 B 点的速度 v2大小是一样的，即长度是一样的。为了便于比较，将 v1 的起点移到 B，同时保持 v1的长度和方向不变，如图丙。如果我们把时间逐渐缩短，当时间趋于 0 时，v1、v2的夹角趋于 0，此时速度变化量 v 的方向与 v1垂直，也就与半径平行，在 A 处与半径重合，指向圆心。提示 活动 4：讨论、交流、展示，
9、得出结论。(1)向心加速度的方向v 的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从 A 点运动到 B 点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时 v 与初速度的关系。结论：t 趋于零，v 垂直于此时的线速度。即 v 指向圆心。向心加速度的方向：由于 v 指向圆心，由加速度定义 avt 可知，加速度总是与 v 的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。(2)向心加速度的大小公式推导：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。由于 A 点的速度 vA方向垂直于半径 r，B 点的速度 vB 方向垂直于另一条半径 r，所以AOBCBD，故等腰AOB 和CBD 相似，根据对
10、应边成比例可得：rvAABv，由于时间 t 很短，故弦长 AB 近似等于弧长，而弧长vAt，所以 rvAvAtv，又 anvt，故 anv2Ar。由于 vr，代入 anv2Ar 可得 an2r。向心加速度的几种表达式：anv2r 2r42T2 r42n2rv。向心加速度与半径的关系a当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。b当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。由 an-r 图象可以看出：向心加速度 an 与 r 是成正比还是反比，要看 恒定还是 v 恒定。向心加速度的注意要点a向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但 an
11、 与 v 具有瞬时对应性。b向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。c无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。例 2 如图所示，压路机大轮的半径 R 是小轮半径 r 的 2 倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上 A 点的向心加速度是 12 cm/s2，那么小轮边缘上 B 点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为R3的 C 点的向心加速度大小是多少？(1)怎么比较 A、B、C 三点的向心加速度大小？提示：需要涉及公式 anv2r、an2r，通过抓住相同量
12、比较不同量。提示 (2)A、B 两点有什么物理量相同？A、C 两点有什么物理量相同？提示：由于 A、B 轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C 同轴，角速度、周期、转速相等。提示 规范解答 大轮边缘上 A 点的线速度大小与小轮边缘上 B 点的线速度大小相等。由 aAv2R和 aBv2r 得 aBRr aA24 cm/s20.24 m/s2；C 点和 A 点同在大轮上，角速度相等，由 aA2R 和 aC2R3得 aCaA3 4 cm/s20.04 m/s2。完美答案 aB0.24 m/s2 aC0.04 m/s2答案 向心加速度公式的应用技巧(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大
13、小相等，常选择公式 anv2r。(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式 an2r。所以分析向心加速度时应先确定是线速度大小相等，还是角速度相等，再选择合适的公式。变式训练2 如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为 r1，O2 为从动轮的轴心，从动轮半径为 r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知 r22r1，r31.5r1。A、B、C 分别是三个轮边缘上的点，则点 A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A123B243 C843D362答案 C答案 解析 因为皮带不打滑，A 点与 B 点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式 av2r，可
14、得 aAaBr2r121。由于 B、C 同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式 a2r，可得 aBaCr2r321.5。由此得 aAaBaC843，故选 C。解析 03课后课时作业 A 组：合格性水平训练1(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是()A向心加速度的方向始终指向圆心B向心加速度的方向保持不变C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化答案 A答案 解析 向心加速度的方向时刻指向圆心，A 正确，B 错误；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故 C、D 错误。解析 2.(传动装置中的向心加速度)如图所示，
15、两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的 2 倍，E 为大轮半径的中点，C、D 分别是大轮和小轮边缘上的一点，则 E、C、D 三点向心加速度大小关系正确的是()AanCanD2anE BanC2anD2anECanCanD2 2anE DanCanD2 anE答案 C答案 解析 C、E 两点同轴转动，角速度相等，由 an2r，有anCanE2，即 anC2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，C、D 两点的线速度大小相等，由anv2r，有anCanD12，即 anC12anD，故选 C。解析 3(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A由 anv
16、2r 可知，an 与 r 成反比B由 an2r 可知，an 与 r 成正比C由 vr 可知，与 r 成反比D由 2f 可知，与 f 成正比答案 D答案 解析 质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C 错误，D 正确。解析 4.(向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为 A、B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中 A 为双曲线的一个分支，由图可知()AA 物体运动的线速度大小不变BA
17、 物体运动的角速度大小不变CB 物体运动的角速度大小不变DB 物体运动的角速度与半径成正比答案 AC答案 解析 因为 A 为双曲线的一个分支，说明 a 与 r 成反比，由 av2r 可知，A 物体运动的线速度大小不变，故 A 正确，B 错误；而 OB 为过原点的直线，说明 a 与 r 成正比，由 a2r 可知，B 物体运动的角速度大小不变，故 C 正确，D 错误。解析 5(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为 m 的老鹰，以速率 v 在水平面内做半径为 r 的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A大小为v2rB大小为 gv2rC方向在水平面内 D方向在竖直面内答案 AC答
18、案 解析 根据 anv2r 可知 A 正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C 正确。解析 6.(综合)如图所示，一圆环以直径 AB 为轴匀速转动，P、Q、R 是环上的三点，则下列说法正确的是()A向心加速度的大小 aPaQaRB任意时刻 P、Q、R 三点向心加速度的方向不同C线速度 vPvQvRD任意时刻 P、Q、R 三点的线速度方向均不同答案 C答案 解析 圆环各处的角速度相等，由 a2r 知 aPaQaR，故 A 错误；由 vr 知 vPvQvR，故 C 正确；由于向心加速度总是指向圆周运动圆心，所以 P、R、Q 处的向心加速度的
19、方向都垂直于 AB 轴且指向 AB 轴，即P、Q、R 三点向心加速度的方向相同，B 错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故 P、Q、R 三点的线速度方向相同，D 错误。解析 7.(综合)如图所示，一球体绕轴 O1O2 以角速度 匀速旋转，A、B 为球体上两点，下列几种说法中正确的是()AA、B 两点具有相同的角速度BA、B 两点具有相同的线速度CA、B 两点的向心加速度的方向都指向球心DA、B 两点的向心加速度之比为21答案 A答案 解析 A、B 为球体上两点，因此 A、B 两点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同，A 正确；如图所示，A 以 P 为圆心做圆周运动，B 以 Q 为圆心做
20、圆周运动，因此 A、B 两点的向心加速度方向分别指向 P、Q，C 错误；设球的半径为 R，则 A 运动的半径 rARsin60，B 运动的半径 rBRsin30，vAvBrArBsin60sin30 31，B 错误；aAaB2rA2rB 31，D 错误。解析 8.(向心加速度的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从 B 点进入半径为 2.0 m 的14光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在 C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到 C 点时的速度大小为 10 m/s。求他到达C 点前、后瞬间的加速度。(不计各种阻力)答案 50 m/s2，方向竖直向上 0答案 解析 运动员到达 C 点
21、前的瞬间做圆周运动，加速度大小 av2r 1022m/s250 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上。运动员到达 C 点后的瞬间合外力为 0，加速度为 0。解析 9.(综合)如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆周半径为 R；乙做自由落体运动，当乙下落至 A 点时，甲恰好第一次运动到最高点 B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为 g)答案 982g答案 解析 设乙下落到 A 点所用时间为 t，则对乙，满足 R12gt2，得 t2Rg，这段时间内甲运动了34T，即34T2Rg 又由于 an2R42T2 R由得，an982g。
22、解析 B 组：等级性水平训练10.(传动问题)如图所示，A、B 为啮合传动的两齿轮(齿未画出)，rA2rB，则 A、B 两轮边缘上两点的()A角速度之比为 21 B向心加速度之比为 12C周期之比为 12 D转速之比为 21答案 B答案 解析 根据两轮边缘线速度大小相等，由 vr，得角速度之比为 ABrBrA12，故 A 错误；由 anv2r，得向心加速度之比为 aAaBrBrA12，故 B 正确；由 T2rv，得周期之比为 TATBrArB21，故C 错误；由 n 2，得转速之比为 nAnBAB12，故 D 错误。解析 11.(综合)(多选)小球质量为 m，用长 L 的轻悬线固定于 O 点，
23、在 O 点的正下方L2处钉有一颗钉子 P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示。若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)()A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的线速度突然增大答案 AC答案 解析 由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线仍然竖直，小球在竖直方向仍然只受重力和悬线的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变，B、D 错误；又 vr，r 减小，所以 增大；av2r，r 减小，则 a 增大，故 A、C 正确。解析 12.(传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮 1 的半径和轮 2
24、的半径相同，轮 3 的半径和轮 4 的半径相同，且为轮 1 和轮 2 半径的一半，则轮 1 边缘的 a 点和轮 4 边缘的 c 点相比()A线速度之比为 14B角速度之比为 41C向心加速度之比为 81D向心加速度之比为 18答案 D答案 解析 由题意知 vav3，v2vc，又轮 2 与轮 3 同轴转动，角速度相同，v22v3，所以 vavc12，A 错误。acvaravcrc14，B 错误。设轮 4 的半径为r，则 aav2ara0.5vc22rv2c8r18ac，即 aaac18，C 错误，D 正确。解析 13.(综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为 an4 m/s2 的向心加速度做匀
25、速圆周运动，半径 R1 m，则下列说法正确的是()A小物块运动的角速度为 2 rad/sB小物块做圆周运动的周期为 sC小物块在 t4 s 内通过的位移大小为 20 mD小物块在 s 内通过的路程为零答案 AB答案 解析 因为 an2R，所以小物块运动的角速度为 anR2 rad/s，周期 T2 s，A、B 正确；小物块在4 s 内转过2弧度，通过的位移大小为 2 m，在 s 内转过一周，通过的路程为 2 m，C、D 错误。解析 14.(多解问题)用图所示的装置可以测量弹簧枪发射子弹的速度。在一根水平轴 MN 上相隔 L 安装两个平行的薄圆盘，两圆盘可以绕水平轴 MN 一起匀速转动。弹簧枪紧贴
26、左盘沿水平方向在水平轴 MN 的正上方射出一颗子弹，子弹穿过两个薄圆盘(穿过圆盘时速度不变)，并在圆盘上留下两个小孔 A 和B(设子弹穿过 B 时还没有运动到转轴的下方)。若测得两个小孔距水平轴 MN的距离分别为 RA 和 RB，它们所在的半径按转动方向由 B 到 A 的夹角为(为锐角)。求：(1)弹簧枪发射子弹的速度；(2)圆盘绕 MN 轴匀速转动的角速度；(3)若用一橡皮泥将 A 孔堵上，则橡皮泥的向心加速度的大小是多少？答案(1)Lg2RARB(2)(2n)g2RARB(n0,1,2，)(3)2n2RAg2RARB(n0,1,2，)答案 解析(1)以子弹为研究对象，在从 A 运动到 B 的过程中，由平抛运动的规律可得 RARB12gt2，Lv0t联立解得 v0Lg2RARB。(2)子弹从 A 运动到 B 所用的时间为tLv02RARBg。在此过程中，圆盘转过的角度为解析 2n(n0,1,2，)所以圆盘转动的角速度为t(2n)g2RARB(n0,1,2，)。(3)橡皮泥的角速度与圆盘转动的角速度相等，所以橡皮泥的向心加速度为a2RA2n2RAg2RARB(n0,1,2，)。解析 本课结束