1、专题七 系列4选讲第二讲 不等式选讲(选修45)热点聚焦 题型突破 限时规范训练 高考体验 真题自检 目 录 ONTENTSC考情分析 1 不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.考情分析 1 年份卷别考查角度及命题位置卷绝对值不等式解法与不等式成立问题T23卷不等式证明问题T232017卷不等式的解法与不等式恒成立问题T23卷绝对值不等式的解法及图象T24卷含绝对值不等式的解法及比较法
2、证明不等式T242016卷绝对值不等式解法T24卷 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式T242015卷不等式的证明、充要条件的判定T24真题自检2 1(2017高考全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围2 真题自检解析：(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而11的解集题组突破 考点一 含绝对值不等式的解法 解析：(1)由题意得f(x)x4，x1，3x2，132，故yf(x)的图象如图所示题组
3、突破 考点一 含绝对值不等式的解法(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x 13 或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为xx5.所以|f(x)|1的解集为xx13或1x5.题组突破 考点一 含绝对值不等式的解法 2设函数f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围题组突破 考点一 含绝对值不等式的解法 解析：(1)函数f(x)可化为f(x)3，x2，2x1，2x1，3，x1，当x2时，f(x)30，不合题意；当2x1时，f(x)2x11，得x0
4、，即0 x1；当x1时，f(x)31，即x1.综上，不等式f(x)1的解集为(0，)题组突破 考点一 含绝对值不等式的解法(2)关于x的不等式f(x)4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3，得f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4.故实数m的取值范围为3,4题组突破 考点一 含绝对值不等式的解法 3(2017广州模拟)设函数f(x)|kx1|(kR)(1)若不等式f(x)2的解集为x13x1，求k的值；(2)若f(1)f(2)5，求k的取值范围题组突破 考点一 含绝对值不等式的解法 解析：(
5、1)由|kx1|2，得2kx12，1kx3，13k3x1.由已知，得k31，k3.(2)由已知，得|k1|2k1|5.当k12时，(k1)(2k1)5，得k1，此时1k12；当12k1时，(k1)(2k1)5，得k5，此时12k1；当k1时，(k1)(2k1)5，得k73，此时1k73.综上，k的取值范围是1，73.误区警示 考点一 含绝对值不等式的解法 利用零点分段讨论法，解绝对值不等式时易遗漏区间的端点值考点二 不等式的证明 方法结论 证明不等式的5个基本方法(1)比较法：作差或作商比较(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论(3)分析法：执果索因的证明方
6、法(4)反证法：反设结论，导出矛盾(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法题组突破 考点二 不等式的证明 1已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.(1)证明：(1a)(1b)(1c)8；(2)证明：a b c1a1b1c.证明：(1)1a2 a，1b2 b，1c2 c，(1a)(1b)(1c)2 a2 b2 c8 abc，abc1，(1a)(1b)(1c)8.题组突破 考点二 不等式的证明(2)abbc2 ab2c2 b，abac2 a2bc2 a，bcac2 abc22 c，上面三式相加得，2ab2bc2ca2 a2 b2 c，即abbcca a b c.又1a
7、1b1cabbcac，a b c1a1b1c.题组突破 考点二 不等式的证明 2(2017武汉调研)设函数f(x)|x2|2x3，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)当xM时，证明：xf(x)2x2f(x)0.题组突破 考点二 不等式的证明 解析：(1)由已知，得f(x)x1，x23x5，x2.当x2时，由f(x)x11，解得x0，此时x0；当x2时，由f(x)3x51，解得x43，显然不成立故f(x)1的解集为Mx|x0题组突破 考点二 不等式的证明(2)证明：当xM时，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x(x 12)214.令g(x)(x12)21
8、4，则函数g(x)在(，0上是增函数，g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.题组突破 考点二 不等式的证明 3设a0，b0，且ab1a1b.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab2 ab2，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立题组突破 考点二 不等式的证明 4(2017莆田模拟)设 a，b 是非负实数求证：a2b2 ab(ab)证明：因为(a2b2)ab(ab)(a2a ab)(b2b ab)a a(a b)b b(b
9、 a)(a b)(a ab b)(a12b12)(a32b32)，因为 a0，b0，所以不论 ab0，还是 0ab，都有 a12b12与 a32b32同号，所以(a12b12)(a32b32)0，所以 a2b2 ab(ab)类题通法 考点二 不等式的证明 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明考点三 含绝对
10、值不等式的恒成立问题 方法结论 绝对值不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 典例(2017惠州模拟)已知函数 f(x)|xa|.(1)若不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，求实数 a 的值；(2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 解析：(1)由 f(x)3，得|xa|3，解得 a3xa3.又已知不等式 f
11、(x)3 的解集为x|1x5，所以a31a35，解得 a2.(2)当 a2 时，f(x)|x2|.设 g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 因为|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，所以 g(x)的最小值为 5.因此，若 g(x)f(x)f(x5)m 对 xR 恒成立，则实数 m 的取值范围是(，5考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 类题通法 1绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|a|b|ab|a|b|去求形如 f(x)|xa|xb|或 f(x)|xa|xb|的最值2不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f(x)a
12、恒成立f(x)mina；f(x)a 恒成立f(x)maxa；f(x)a 有解f(x)maxa；f(x)a 有解f(x)mina；f(x)a 无解f(x)maxa；f(x)a 无解f(x)mina.演练冲关 1(2017合肥模拟)已知函数 f(x)|xm|x3m|(m0)(1)当 m1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)对于任意实数 x，t，不等式 f(x)|2t|t1|恒成立，求 m的取值范围考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 演练冲关 解析：(1)f(x)|xm|x3m|4m，xm2x2m，3mxm.4m，x3m当 m1 时，由2x213x1，或 x3，得 x32，不等式 f(x)1
13、的解集为x|x32(2)不等式 f(x)|2t|t1|对任意的实数 t，x 恒成立，等价于对任意的实数 x，f(x)(|2t|t1|)min 恒成立，即f(x)max(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m3，又 m0，0m34.考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 演练冲关 2(2017高考全国卷)已知函数 f(x)|x1|x2|.(1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围解析：(1)f(x)3，x2.当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2.所以 f(x)1 的解集为x|x1考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 演练冲关(2)由 f(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|x|3225454，且当 x32时，|x1|x2|x2x54.故 m 的取值范围为，54.考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 限时规范训练 点击进入word.