1、上海市实验学校2021学年度第一学期摸底考试高三数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 复数的共轭复数是_.2. _.3. 已知集合，则_.4 已知，则_.5. 非零向量，满足，且，与夹角为，则_.6. 已知直线l过点（1，0）且与直线x+y10垂直，l与圆C：（x6）2+（y）212交于A，B两点，则弦AB的长为_7. 若，满足约束条件，则的最小值为_.8. 设函数存在反函数，且函数图象过点，则函数的图象一定过点_.9. 已知中，角，所对的边分别为，若，则的面积为_.10. 易系辞上有
2、“河出图，洛出书”之说，河图洛书是中华文化阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是_.11. 已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为_12. 已知a，b，满足，当S取最小值时，c的最大值为_.二选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知是1，2，3，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，这四个数据的平均数为1，
3、那么的最小值是（ ）A. B. C. D. 不存在14. 下列说法中正确的是（ ）一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内.A. B. C. D. 15. 若不等式对恒成立，则值等于（ ）A. B. C. 1D. 216. 已知，方程有三个实根，若，则实数A. B. C. D. 三解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，.（1）
4、求直线与平面所成角的正切值；（2）求三棱锥的体积.18. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.19. 已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式：；（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.20. 已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，成等差数列.（1）求数列通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a
5、的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）若射线，分别与椭圆交于点，点为原点，的面积分别为，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）若为上一点，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.上海市实验学校2021学年度第一学期摸底考试高三数学试卷 答案版一填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 复数的共轭复数是_.答案：2.
6、_.答案：.3. 已知集合，则_.答案：4 已知，则_.答案：285. 非零向量，满足，且，与夹角为，则_.答案：6. 已知直线l过点（1，0）且与直线x+y10垂直，l与圆C：（x6）2+（y）212交于A，B两点，则弦AB的长为_答案：67. 若，满足约束条件，则的最小值为_.答案：8. 设函数存在反函数，且函数图象过点，则函数的图象一定过点_.答案：9. 已知中，角，所对的边分别为，若，则的面积为_.答案：10. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图洛书是中华文化阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白
7、圈皆阳数，四角黑点为阴数，如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是_.答案：11. 已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为_答案：12. 已知a，b，满足，当S取最小值时，c的最大值为_.答案：二选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知是1，2，3，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（ ）A. B. C. D. 不存在答案：A14. 下列说法中正确的是（ ）一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平
8、行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内.A. B. C. D. 答案：D15. 若不等式对恒成立，则值等于（ ）A. B. C. 1D. 2答案：B16. 已知，方程有三个实根，若，则实数A. B. C. D. 答案：B三解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，.（1）求直线与平面所成角的正切值；（2）求三棱锥的体积.答案：（1）；（2）18. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其
9、中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.答案：（1）；（2）519. 已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式：；（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.答案：（1）当时，函数奇函数；当时，函数是非奇非偶函数；（2）当时，不等式得解集为；当时，不等式得解集为；（3）.20. 已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，成等差数列.（1）求数列通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.答案：（1）；（2）；（3）.21. 已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）若射线，分别与椭圆交于点，点为原点，的面积分别为，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）若为上一点，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.答案：（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.