1、类型一 新定义型专题八 阅读理解 目 录 类型二 阅读解题过程或思路解决问题新定义型 一 阅读理解型问题一般文字叙述较长,信息量较大,各种关系错综复杂,往往是先给一个材料,或介绍一个新的知识点,或给出针对某一种题目的解法,然后再结合条件出题.解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含的数学知识、结论,或揭示的数学规律,或暗示的解题方法,然后展开联想,将从题目给定的材料中获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.题型讲解 方法点拨 正确理解新定义,并将此定义作为解题依据,同时要熟练掌握教材中的基本概念和性质.解答阅读理解型问题的基本模式:阅读理解应用
2、.重点是阅读,难点是理解,关键是应用.阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要点,挖掘其中隐含的数学思想方法,运用类比、转化、迁移等方法,构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题.解题技巧 阅读理解:a,b,c,d是实数,我们把符号 称为22行列式,并且规定:=ad-bc.例如,=3(-2)-2(-1)=-6+2=-4.二元一次方程组 +=,+=的解可以利用利用22阶行列式表示为 =,=,其中D=,Dx=,Dy=.例题1问题:对于用上面的方法解二元一次方程组 +=,=时,下面说法错误的是()A.D=-7B.Dx=-14 C.D
3、y=27 D.方程组的解为 =,=分析：选通过阅读理解新定义的意义,再按新定义的要求分别计算出D,Dx,Dy和方程组的解.解析：+=,=,D=2(-2)-31=-7,Dx=1(-2)-112=-14,Dy=212-13=21.=,=,方程组的解为 =,=,说法错误的是C,故选C.答案：C【高分点拨】需要学生先通过阅读掌握新定义公式,再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.当堂检测1规定:x表示不大于x的最大整数,(x)表示不小于x的最小整数,x)表示最接近x的整数.例如:2.3=2,(2.3)=3,2.3)=2.按此规定:1.7+(1.7)+1.7)=.答案:5解
4、析:根据题意可知1.7=1,(1.7)=2,1.7)=2,则1.7+(1.7)+1.7)=1+2+2=5.阅读解题过程或思路解决问题 二 该题型以范例的形式给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以思路技巧为载体设置类似的问题.正误辨析型阅读理解题抓住学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非.题型讲解 方法点拨 解决这类问题常用的数学思想方法是类比和转化.读懂材料、扎实的基本功是解决问题的关键所在.解决这类阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中展示了怎样的新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题
5、目中提出的问题.解题技巧 宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美.各国许多著名的建筑,为了取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)例题2第一步,在矩形纸片的一端,利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把它折到图中所示的AD处.第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DEND,则图中就会出现黄金矩形.问题解决:(1)图中AB=cm(保留根号);(2)如图,判断四边形BADQ的形状,并说明
6、理由;(3)请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.实际操作:(4)结合图,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.分析：(1)连接AB,由折叠的性质,可得AC=1,在RtABC中,利用勾股定理可求出AB的长度;(2)先证明四边形BADQ是平行四边形,再进而证明它是菱形;(3)通过计算,观察图中哪个矩形的宽与长的比是,选择其中一个给出证明;(4)在矩形BCDE中,已知CD=BE=-1,添加宽,使矩形的宽与长的比是.解析：(1)由折叠知,四边形MNCB是正方形,BC=MN=2,AC=1,AB=+=+=.故答案为.(2)矩形纸片,BQA=Q
7、AD,由折叠,得BAQ=QAD,AB=AD,BQA=BAQ,BQ=AB,BQ=AD.又BQAD,四边形BADQ是平行四边形.又AB=AD,四边形BADQ是菱形.(3)图中的黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.矩形BCDE是黄金矩形,理由如下:AD=AB=,AN=AC=1,CD=AD-AC=-1.又BC=2,=,矩形BCDE是黄金矩形.(4)如图,在矩形BCDE上添加线段GH,使四边形GCDH为正方形,则矩形BGHE为所要作的黄金矩形.矩形较长的边GH=-1,宽HE=3-.【高分点拨】本题主要考查了折叠的性质、特殊的四边形及勾股定理的应用,在(4)题的矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄
8、金矩形时,找出添加线段GH,使四边形GCDH为正方形是关键.当堂检测2利用如图的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,图是某个学生的识别图案,阴影部分的小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a23+b22+c21+d20,如图第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为023+122+021+120=5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是()图图答案:B解析:A.第一行数字从左到右依次为1,0,1,0,序号为123+022+121+020=10,不符合题意;B.第一行数字从左到右依次为0
9、,1,1,0,序号为023+122+121+020=6,符合题意;C.第一行数字从左到右依次为1,0,0,1,序号为123+022+021+120=9,不符合题意;D.第一行数字从左到右依次为0,1,1,1,序号为023+122+121+120=7,不符合题意.故选B.1.答案:C解析:根据题目中的约定关于k的函数f(k)=+-(k是正整数),f(1)=+-=0-0=0,选项A正确;f(k+4)=+-+=+-+=+-=f(k),选项B正确,选项C不正确.由此也可得选项D正确.专题八 高效测评 1.(2020河北预测)已知:x表示不超过x的最大整数.例:3.9=3,-1.8=-2.令关于k的函数
10、f(k)=+-(k是正整数).例:f(3)=+-=1.则下列结论错误的是()A.f(1)=0 B.f(k+4)=f(k)C.f(k+4)f(k)D.f(k)=0或12.定义一种对正整数n的“F”运算:当n是奇数时,F(n)=3n+1;当n为偶数时,F(n)=(其中k是使为奇数的正整数),两种运算交替重复进行.例如,取n=24,则:,若n=13,则第2 021次“F”运算的结果是()A.1B.4C.2 020D.22 0212.答案:B解析:根据题意,得第一次:当n=13时,F=313+1=40,第二次:当n=40时,F=5,第三次:当n=5时,F=35+1=16,第四次:当n=16时,F=1,
11、第五次:当n=1时,F=31+1=4,第六次:当n=4时,F=1,从第四次开始,每2次运算为一个循环,(2 021-3)2=1 009,第2 021次“F”运算的结果是4.故选B.3.根据下列材料,解答问题.等比数列求和:概念:对于一列数a1,a2,a3,an(n为正整数),若从第二个数开始,每一个数与前一个数的比为一定值,即=q(常数),那么这一列数a1,a2,a3,an成等比数列,这一常数q叫做该数列的公比.例:求等比数列1,3,32,33,3100的和.解:令S=1+3+32+33+3100,则3S=3+32+33+3100+3101,因此3S-S=3101-1,所以S=,即1+3+32
12、+33+3100=.仿照例题,等比数列1,5,52,53,52 021的和为 .3.答案:解析:令S=1+5+52+53+52 021,则5S=5+52+53+52 021+52 022,5S-S=52 022-1,S=,即1+5+52+53+52 021=.4.(2020深圳模拟)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形.如图,在CFE中,CF=6,CE=12,FCE=45,以点C为圆心,以任意长为半径作,再分别以点A和点D为圆心,大于AD长为半径作弧,交EF于点B,ABCD.(1)求证:四边形ACDB为FEC的亲密菱形;(
13、2)求四边形ACDB的面积.解:(1)证明:由已知,得AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹,得BC是FCE的平分线,则ACB=DCB,又ABCD,ABC=DCB,ACB=ABC,AC=AB.又AC=CD,AB=DB,AC=CD=DB=AB,四边形ACDB是菱形.ACD与FCE中FCE重合,它的对角ABD顶点在EF上,四边形ACDB为FEC的亲密菱形.(2)设菱形ACDB的边长为x,可证FABFCE,则=,即=,解得x=4,如图,过点A作AHCD于点H,在RtACH中,ACH=45,AH=2.四边形ACDB的面积为42=8.5.(2021常州模拟)阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程,
14、根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似地,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.(1)问题:方程x3+x2
15、-2x=0的解是x1=0,x2=,x3=;(2)拓展:用“转化”思想求方程 +=x的解;(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8 m,宽AB=3 m,小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD,DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.解:(1)x3+x2-2x=0,x(x2+x-2)=0,x(x+2)(x-1)=0,x=0或x+2=0或x-1=0,x1=0,x2=-2,x3=1.故答案为-2,1.(2)+=x,方程的两边平方,得2x+3=x2,即x2-2x-3=0,
16、(x-3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0,x1=3,x2=-1,当x=-1时,+=1-1,-1不是原方程的解.方程 +=x的解是x=3.(3)四边形ABCD是矩形,A=D=90,AB=CD=3 m.设AP=x m,则PD=(8-x)m,BP+CP=10,BP=+,CP=+,+()+=10,()+=10-+,两边平方,得(8-x)2+9=100-20 +9+x2,整理,得5 +=4x+9,两边平方并整理,得x2-8x+16=0,即(x-4)2=0,x=4.经检验,x=4是方程的解.答:AP的长为4 m.6.(2021金华一模)阅读理解:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别
17、是(-1,0),(-7,0).(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果APB=45,则称点P为线段AB的“等角点”.显然,线段AB的“等角点”有无数个,且A,B,P三点共圆.设A,B,P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和C的半径;y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有,求出“等角点”的坐标;如果没有,请说明理由.(2)当点P在y轴正半轴上运动时,APB是否有最大值?如果有,说明此时APB最大的理由,并求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.解:(1)如图1,在x轴的上方,作以AB为斜边的等腰直角三角形ACB,易知点A,B,P在C上,连接CA,CB,过点C作CHx轴于点H,
18、CA=CB,ACH=902=45.A(-1,0),B(-7,0),AB=6,由垂径定理可得,AH=AB2=3=CH,OH=4,CA=3,C(-4,3),半径为3,由对称性可知,点(-4,-3)也满足条件.y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”.如图2,当圆心为C(-4,3)时,过点C作CDy轴于点D,则D(0,3),CD=4,C的半径为3 4,C与y轴相交,设交点为P1,P2,连接CP1,CP2,CA,则CP1=CP2=CA=3,CDy轴,CD=4,CP1=3,DP1=DP2,P1(0,3+),P2(0,3-).(2)当过A,B的圆与y轴相切于点P时,APB最大.理由如下:如果点P在y轴的正半
19、轴上,如图3,设此时圆心为E,则E在第三象限,在y轴的正半轴上任意取一点M(不与点P重合),连接MA,MB,PA,PB,设MB交E于点N,连接NA,点P,N在E上,APB=ANB.ANB是MAN的外角,ANBAMB,即APBAMB,此时,过点E作EFx轴于点F,连接EA,EP,则AF=AB=3,OF=4,E与y轴相切于点P,则EPy轴,四边形OPEF是矩形,OP=EF,PE=OF=4,E的半径为4,即EA=4,在RtAEF中,EF=,OP=,P(0,).7.(2020重庆渝中模拟)对于任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意
20、写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=.求满足D(m)是完全平方数的所有m.(1)不唯一,如1 188,2 475,9 900等,猜想任意一个“极数”是99的倍数.理由如下:设任意一个“极数”为xy(9-x)(9-y)=1 000 x+100y+10(9-x)+(9-y)=1 000 x+100y+90-10 x+9-y=990 x+99y+99=99(10 x+y+1),x,y为整数,(10 x+y+1)为整数,则任意一个“极数”是99的倍数.(2)设m=
21、xy(9-x)(9-y)(其中1x9,0y9,且x,y为整数),则由题意,得D(m)=(+)=3(10 x+y+1),1x9,0y9,333(10 x+y+1)300.D(m)为完全平方数且为3的倍数,D(m)可取36,81,144,225.D(m)=36时,3(10 x+y+1)=36,10 x+y+1=12,x=1,y=1,m=1 188;D(m)=81时,3(10 x+y+1)=81,10 x+y+1=27,x=2,y=6,m=2 673;D(m)=144时,3(10 x+y+1)=144,10 x+y+1=48,x=4,y=7,m=4 752;D(m)=225时,3(10 x+y+1)
22、=225,10 x+y+1=75,x=7,y=4,m=7 425.综上所述,满足D(m)为完全平方数的m的值为1 188,2 673,4 752,7 425.8.(2020杭州模拟)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分ABC,BAC=ADC.求证:ABC是比例三角形;(3)如图2,在(2)的条件下,当ADC=90时,求的值.解:(1)或或.(2)如图1,ADBC,ACB=CAD.又BAC=ADC,ABCDCA.=,即CA2=BCAD.ADBC,ADB=CBD.BD平分ABC,ABD=CBD.ADB=ABD.AB=AD.CA2=BCAB.ABC是比例三角形.(3)如图2,过点A作AHBD于点H.AB=AD,BH=BD.ADBC,ADC=90,BCD=90.BHA=BCD=90.又ABH=DBC,ABHDBC.=.ABBC=DBBH.ABBC=BD2.又ABBC=AC2.BD2=AC2.=.