1、二十七 实际问题的函数建模【基础全面练】(15 分钟 30 分)1某种动物繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog2(x1)，设这种动物第一年有 100 只，到第 7 年它们发展到()A300 只 B400 只 C500 只 D600 只【解析】选 A.由题意得 100alog2(11)，所以 a100，所以 y100log2(x1).当 x7 时，y100log2(71)300.2据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆每次 0.8 元，普通车存车费是每辆每次 0.5 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关
2、于 x 的函数关系式是()Ay0.3x800(0 x2 000)By0.3x1 600(0 x2 000)Cy0.3x800(0 x2 000)Dy0.3x1 600(0 x2 000)【解析】选 D.由题意知，变速车存车数为(2 000 x)辆次，则总收入 y0.5x(2 000 x)0.80.3x1 600(0 x2 000).3在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对 x，y 最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x【解析】选 D.根据 x0.50，y0.99，代入计
3、算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意4候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 valog2Q10(其中 a是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 20 个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，其耗氧量至少需要_个单位【解析】由题意 alog22010 0，a1，即 v1log2Q10，由1log2Q10 2，解得 Q80.答案：805为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“
4、经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量 f(t)(单位：字)与时间 t(单位：分钟)满足二次函数关系，部分数据如表所示t0102030f(t)02 7005 2007 500阅读“古诗词”的阅读量 g(t)(单位：字)与时间 t(单位：分钟)满足如图所示的关系(1)请分别写出函数 f()t和 g()t的解析式；(2)在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【解析】(1)因为 f(0)0，所以可设 f(t)at2bt，代入(10，2 700)与(30，7
5、 500)，解得 a1，b280.所以 f()tt2280t，又令 g()tkt，(0t40)，代入(40，8 000)，解得 k200，令 g()tmtn(40t60)，代入(40，8 000)，(60，11 000)，解得 m150，n2 000，所以 g()t200t（0t40），150t2 000()40t60(2)设 h(t)为小明的总阅读量，小明对“经典名著”的阅读时间为 t()0t60，则对“古诗词”的阅读时间为 60t，当 060t40，即 2013 200，所以总阅读量 h()t的最大值为 13 600，此时对“经典名著”的阅读时间为 40 分钟，对“古诗词”的阅读时间为 2
6、0 分钟【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1一种药在病人血液中的含量保持 1 500 mg 以上才有效，而低于 500 mg 病人就有危险现给某病人注射了这种药 2 500 mg，如果药在血液中以每小时 20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(附：lg 20.301，lg 30.4771，答案采取四舍五入精确到 0.1 h)()A2.3 小时 B3.5 小时C5.6 小时 D8.8 小时【解析】选 A.设从现在起经过 x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效则 2 5000.8x
7、1 500，0.8x0.6，lg 0.8xlg 0.6，x lg 0.8lg 0.6，xlg 0.6lg 0.8 lg 610lg 810lg 2lg 313lg 210.3010.4771130.30112.3.2已知 A，B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t 的函数，解析式是()Ax60tBx60t50tCx60t，0t2.5，150，2.5t3.5，15050（t3.5），3.53.5.【解析】选 C.应分三段建立函数关系，当
8、0t2.5 时，x60t；当 2.5t3.5 时，汽车与 A 地的距离不变是 150；当 3.5t6.5 时，x15050(t3.5).3今有一组试验数据如表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()Aulog2tBu2t2Cut212Du2t2【解题指南】可以先根据表中数据建立平面直角坐标系，并描出各点，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它【解析】选 C.根据表中数据画出函数图像如图所示，由图可知，图像不是直线上的点，排除 D；图像不符合对数函数的图像特征，排除 A；当 t3 时，2t22326
9、，t21232124，由表格知当 t3 时，u4.04，模型 ut212能较好地体现这些数据关系4某企业 2018 年全年投入研发资金 150 万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长 8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是()(参考数据：lg 1.080.033，lg 20.301，lg 30.477)A2020 B2021 C2022 D2023【解析】选 C.设该企业全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份为 n，则150(18%)n2018200，则 n20182lg 2lg 3lg 1.0820180.6020.4770.0332021
10、.8，取 n2022.【误区警示】取对数的时候运算易出错5某城市对一种售价为每件 160 元的电子产品征收附加税，税率为 R%(即每销售100 元征税 R 元)，若年销售量为3052R万件，要使附加税不少于 128 万元，则R 的取值范围是()A4，8 B6，10 C4%，8%D6%，10%【解析】选 A.根据题意，要使附加税不少于 128 万元，需3052R160R%128，整理得 R212R320，解得 4R8，因此，实数 R 的取值范围是4，8.【光速解题】选 A.代入选项检验比较简便二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
11、x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下 5 个模拟函数：y0.58x0.16；y2x3.02；yx25.5x8；ylog2x；y12x1.74请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_(填序号).【解析】画出散点图如图所示由图可知上述点大体在函数 ylog2x 的图像上，故选择 ylog2x 可以近似地反映这些数据的规律答案：7在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(米/秒)和燃料的质量 M(千克)、火箭(除燃料外)的质量 m(千克)的函数关系式是 v2 000ln 1Mm.当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可达 12 千米
12、/秒【解析】由题意可得 12 0002 000ln 1Mm，ln 1Mm6，解得 1Mm e6，所以Mm e61.答案：e61【易错警示】本题易错点在没有注意单位，函数关系式中速度 v 的单位是(米/秒)，问题当中的单位是火箭的最大速度可达 12 千米/秒，所以需要统一单位为(米/秒)，再利用对数式与指数式互化8一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过_小时才能开车(精确到 1 小时，参考数据 lg 20.3
13、0，lg 30.48).【解析】设经过 n 小时才能开车，由题意得 0.3(10.25)n0.09，所以34n0.3，所以 n lg 34 lg 310 0，所以 nlg 31lg 32lg 2，即 n133，故至少经过 5 小时才能开车答案：5三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019 年 9 月份第 x(1x30，xN)天的单件销售价格(单位：元)f(x)20 x，1x15，50 x，15x30，第x 天的销售量(单位：件)g(x)mx(m 为常数)，且第 20 天该商品的销售收入为600 元(销售收入销售价格销售量).(
14、1)求 m 的值(2)该月第几天的销售收入最高？最高为多少？【解析】(1)销售价格 f(x)20 x，1x15，50 x，15x30，第 x 天的销售量(单位：件)g(x)mx(m 为常数)，当 x20 时，由 f(20)g(20)(5020)(m20)600，解得 m40.(2)当 1x15 时，y(20 x)(40 x)x220 x800(x10)2900，故当 x10 时，ymax900，当 15x30 时，y(50 x)(40 x)x290 x2 000(x45)225，故当 x15 时，ymax875，因为 875900，故该月第 10 天的销售收入最高为 900 元10一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是 40 cm 与 60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积【解析】设直角三角形为ABC，AC40，BC60，矩形为 CDEF，如图所示，设 CDx，CFy，则由 RtAFERtEDB 得，AFED FEBD，即40yyx60 x，解得 y4023 x，记剩下的残料面积为 S，则S12 6040 xy23 x240 x1 20023(x30)2600(0 x60)，故当 x30 时，Smin600，此时 y20，所以当 x30，y20 时，剩下的残料面积最小为 600 cm2.