1、试卷第 1页，总 6页2020-2021 学年度高二年级第一次月考数学试卷考试时间：120 分钟；命题人：赵艳；校对人：张曼熟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）一、单选题(共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1抛物线2yx=的准线方程是（）A14y B12y=-C14x D12x 2曲线3()3f xxx在点 P 处的切线平行于直线21yx，则点 P 坐标为（）A(1,3)B(1,3)C(1,3)和(1,1)D(1,3)和(1,3)3关于6212xx的展开式，下列说法中正确的是（）A展开式中二项式系数之和为 32B展开式
2、中各项系数之和为 1C展开式中二项式系数最大的项为第 3 项D展开式中系数最大的项为第 4 项4琵琶二胡编钟箫笛瑟琴埙笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶二胡编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A 1360B 115C 715D 165若2202020202019201801220201111a xa xxa xxax，则试卷第 2页，总 6页012020aaa（）A1B0C20202D202126式子25yx
3、xyx的展开式中，33x y 的系数为（）A3B5C15D 207甲、乙等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70 周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）A12 种B24 种C48 种D120 种852212xx的展开式中常数项是（）A-252B-220C220D2529小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有8 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（）A1860 种B280 种C165 种D70 种10239111xxx的展开式中2x 的系数是（）A60B8
4、0C84D12011如图，MON的边 OM 上有四点1A、2A、3A、4A，ON 上有三点1B、2B、3B，则以O、1A、2A、3A、4A、1B、2B、3B 中三点为顶点的三角形的个数为（）A30B 42C54D56试卷第 3页，总 6页12设集合1234,|1,0,1,1,2,3,4iAx xx xxi，那么集合 A 中满足条件222212343xxxx的元素个数为（）A81B80C65D60二、多选题(共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13已知 m 为 3 与 5 的等差中项，n 为 4 与 16 的等比中项，则下列对曲线22:1xyCmn描述正确的是（）A曲线C 可表示为焦点在
5、y 轴的椭圆B曲线C 可表示为焦距是 4 的双曲线C曲线C 可表示为离心率是22的椭圆D曲线C 可表示为渐近线方程是2yx 的双曲线14设 fx是函数 yf x的导函数，则以下求导运算中，正确的有（）A若 sin 2fxx，则 cos2fxxB若 ln 2xf xxe，则 1xfxxeC若 21fxx，则 2f xxxD若 tanf xx，则 21cosfxx15下列组合数公式中恒成立的有（）Amn mnnCC B11mmnnmCnCC111mmmnnnCCCD22220122nnnnnnnCCCCC 试卷第 4页，总 6页16用数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数，则下列说
6、法正确的是（）A可组成360个不重复的四位数B可组成156 个不重复的四位偶数C可组成96个能被3 整除的不重复四位数D若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85 个数字为 2310第 II 卷（非选择题）三、填空题(共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)17已知焦点在 y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为2yx，则该双曲线的离心率为_18有 5 名同学考虑报书法、围棋、绘画 3 个暑假兴趣班，如果每人只能报 1 个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有_种.（用数字作答）19已知 3216132mfxxxx在 1,1单调递减，则 m 的取值范围为_20我国南
7、宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，记作数列 na，若数列 na的前 n 项和为nS，则67S _试卷第 5页，总 6页四、解答题(共 50 分)21(本题 12 分)椭圆22221xyab（0ab）的左右焦点分别为1F，2F，其中22,0F，O 为原点椭圆上任意一点到1F，2F 距离之和为 2 3（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点0,2P的斜率为 2 的直线l 交椭圆于 A、B 两点求的 OAB面积22（本题 12 分）某校将
8、进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3 次，先在 M 处投一次三分球，投进得 3 分，未投进不得分，以后均在 N 处投两分球，每投进一次得2 分，未投进不得分测试者累计得分高于 3 分即通过测试，并终止投篮甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投10 次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率试卷第 6页，总 6页23.(本题 12 分)某医院已知 5 名病人中有一人患
9、有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病院方设计了两种化验方案：方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止；方案乙：先将 3 人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外 2 人中选取 1 人化验（1）求方案甲化验次数 X 的分布列；（2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率24(本题 14 分)已知函数()ln1f xxxx，()xg xeax，aR.（1）求()f x 的最小值；（2）若()1g x 在 R 上恒成立，求 a 的值；（3）求证：12311()()
10、()()1nnnnnnnnne 对一切大于 2 的正整数 n 都成立.答案第 1页，总 8页高二第一次月考数学参考答案1A 抛物线的准线方程为2xy，焦点在 y 轴上，21p，即12p，124p，准线方程是124py 故选：A.2D 设切点00(,)P xy，由函数3()3f xxx，可得2()31xfx，可得切线的斜率为200()31kfxx，因为曲线3()3f xxx在点 P 处的切线平行于直线21yx，所以20312x ，解得01x ，当01x 时，可得(1)3f，此时(1,3)P；当01x 时，可得(1)3f，此时(1,3)P.故选：D3B 解：关于621(2)xx的展开式，根据二项式
11、的展开式的应用：61621(2)()rrrrTCxx，对于选项 A：展开式中二项式系数之和6264，故错误对于选项 B：利用赋值法的应用，当1x 时，各项的系数的和为6(2 1)1，故正确对于选项C：展开式中二项式系数最大的项为第 4 项3620C，故错误对于选项 D：展开式中系数最大的项为第 2 项，系数为2462240C 故错误故选：B4D 从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A；从除琵琶二胡编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A 种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3 个插入琵琶二胡编钟三种乐器，有36A 种情况，故琵琶二胡编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情
12、况种数为：5376A A；所求的概率537681016A APA，故选：D.5C2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)xxa xa xxa xxaxLQ，当02020k且k N 时，2020kkaC，答案第 2页，总 8页因此，01220202020202020202020012202020202aaaCCaCCL.故选：C.6B22555yyxxyx xyxyxx，5x xy的展开式通项为5655kkkkkkkTxCxyCxy，25yxyx的展开式通项为254255rrrrrrrySCxyCxyx，由6343kr，可得31kr，因此，式子25yxxyx
13、的展开式中，33x y 的系数为31555CC.故选：B.7B 甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有4242A A 种排法，甲乙相邻且在两端有122323C A A 种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有212422432324A AC A A(种)故选：B8A 由2510211(2)()xxxx，可得二项式101()xx的展开式通项为1010 2110101()(1)rrrrrrrTC xC xx ，令1020r，解得=5r，所以展开式的常数项为5510(1)252C.故选：A.9C 问题等价转化为将8 个完全相同的小球放入 4 个盒子里，允许有空盒.进一步转化为：将12个完全相同
14、的小球放入 4 个盒子里，每个盒子里至少有1个球.由隔板法可知，不同的选购方法有311165C种.故选：C.10D239111xxx的展开式中2x 的系数是22222349CCCC因为11mmmnnnCCC且2323CC，所以2232323334CCCCC，所以222233234445CCCCCC，以此类推，22223232349991010 9 81203 2 1CCCCCCC .故选：D.答案第 3页，总 8页11B 利用间接法，先在8 个点中任取3 个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542CCC.故选：B.12C 解：集合1234,|1,0,1,1,2,
15、3,4iAx xx xxi，集合 A 满足条件“22221234 3xxxx”，设0M，1,1N ，A 中的四个元素中有 1 个取值为 0，另外 3 个从 N 中取，取法总数有：134232C，A 中的四个元素中有 2 个取值为 0，另外 2 个从 N 中取，取法总数有：224224C，A 中的四个元素中有 3 个取值为 0，另外 1 个从 N 中取，取法总数有：3428C，A 中的四个元素中有 4 个取值为 0，取法总数有：441C，集合 A 中满足条件“22221234 3xxxx”的元素个数为：32248165 故选：C13ACD由m 为 3 与 5 的等差中项，得 2358m，即4m，
16、由n 为 4 与 16 的等比中项，得24 1664n，即8n ，则曲线22:1xyCmn的方程为22148xy或22148xy其中22148xy表示焦点在 y 轴的椭圆，此时它的离心率22222421182cabbeaaa，故 A 正确，C 正确；其中22148xy表示焦点在 x 轴的双曲线，焦距为22222 484 3cab，渐近线方程为 y 2 222b xxxa ，故 B 不正确，D 正确故选:ACD14BD因为 sin 2fxx，所以 sin 222cos2fxxxx，A 错；因为 ln 2xf xxe，所以 01xxxfxx ex exe，B 正确；若 21fxx，则 2f xxx
17、c（c 为任意常数），C 错；答案第 4页，总 8页因为 sintancosxfxxx，所以 22222sincossincoscossin1coscoscosxxxxxxfxxxx，D 正确，故选：BD.15ABD 对于 A，因为!()!mnnCm nm，!()!()!()!n mnnnCnmnnmm nm，对于 B，!(1)!()!(1)!()!mnnnnmCmmm nmmmnm(1)!(1)!(1)(1)!nnmnm11mnnC，故 B 正确；对于C，当1mn 时，左边221C，右边1112123CC，等式不成立，故C 不正确；对于 D，因为2(1)(1)(1)nnnxxx，等式左边nx
18、 的系数为：011220nnnnnnnnnnnnCCCCCCCC001122nnnnnnnnnnCCCCCCCC0212222()()()()nnnnnCCCC，等式右边nx 的系数为：2nnC，所以22220122nnnnnnnCCCCC，故 D 正确.故选：ABD16BC 解：A 选项，有1355300C A 个，错，B 选项，分为两类：0 在末位，则有3560A 种，0 不在末位，则有11224496C C A 种，共有6096156种，对，C 选项，先把四个相加能被3 整除的四个数从小到大列举出来，即先选：(012 3),，(013 5),、(0 2 3 4),、(0 3 4 5),、
19、(12 4 5),，它们排列出来的数一定可以被3 整除，共有：134334496CAA种，对，D 选项，首位为1的有3560A 个，前两位为 20 的有2412A 个，前两位为 21的有2412A 答案第 5页，总 8页个，此时共有60 12 1284个，因而第85 个数字是前两位为 23的最小数，即为 2301，错，故选：BC.1752因为以原点为中心，焦点在 y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为ayxb，所以2ab,所以225522cabbeaab故答案为：5218150 本题考查排列组合.先把 5 名同学分成 3 组，若按 1，1，3 分组，共有31522210CCA（种）不同分法；若按
20、1，2，2 分组，共有22532215CCA（种）不同分法，所以共有10 1525（种）不同分组方法，所以分配到 3 个兴趣班共有3325150A（种）不同分配方案.故答案为：150.195,5()f x 在 1,1单调递减，2()60fxxmx在1,1恒成立，又2()6fxxmx是开口向上的二次函数，为使()0fx在1,1恒成立，只需(1)0(1)0ff，即160160mm，则5,5m.故答案为：5,5.202048使得每行的序数与该行的项数相等，则第 k 行最后项在数列 na中的项数为：12k k 设67a位于第*k k N行，则：116722k kk k，解得：12k 且第11行最后一项
21、在数列 na中的项数为：11 1266267a位于杨辉三角数阵的第12 行第1个而第一行各项和为012，第二行各项和为122，第三行各项的和为242答案第 6页，总 8页依此类推，第 k 行各项的和为12k110121001171612222212204812CS本题正确结果：204821（1）2213xy，63；（2）6 313（1）由题意，2,22 3ca，2223,1abac，所以椭圆的标准方程为2213xy，离心率为63e；（2）直线l 的方程为22yx，代入椭圆方程得2132490 xx设1122,A x yB xy，则121224910801313xxx x ，221212126
22、31254513ABxxxxx x，又点O 到直线 AB 的距离222512d 1126 36 352213135OABSdAB即 OAB的面积为 6 313.22.解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为：P0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为：P0.1，设甲同学累计得分为 X，则 P（X4）P（X4）+P（X5）0.90.50.5+0.10.5+0.10.50.50.3，甲同学通过测试的概率为 0.3答案第 7页，总 8页（2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为 0.4，三分球投篮命中的概率为 0.2，设乙同学累计得分为 Y，则 P（Y4）0.80.40.40.128，P（Y5）0.
23、20.4+0.20.60.40.128，设“甲得分比乙得到高”为事件 A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B，则 P（AB）P（X5）P（X4）0.0750.1280.0096，P（B）P（X4）+P（X5）P（Y4）+P（Y5）0.0768，由条件概率得：P（A|B）解：（1）依题知 X 的可能取值为 1，2，3，4，故方案甲化验次数 X 的分布列为：X1234P（2）若乙验两次时，有两种可能：验 3 人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中，先验 3 人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性，故乙用两次的概率为，若乙验三次时，只有一种可能：先验 3 人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次
24、为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为，故甲方案的次数不少于乙次数的概率为24（1）0；（2）1；（3）证明见解析.(1)()fxlnx，答案第 8页，总 8页当01x时，()0fx，1x 时，()0fx，()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，当1x 时，()f x 取得最小值 f（1）0.(2)由()1xg xeax 恒成立可得1xaxe 恒成立，设()xh xe，则()xh xe，故(0)1h，(0)1h，函数()yh x在(0,1)处的切线方程为1yx，1xxe 恒成立.1a=.(3)由(2)可知1xx e 恒成立，当且仅当0 x 时取等号.令ixn，1i，2，3，1n，则1inien，即innien，()ninien，111123111231(1)11()()()()111nnnnnninnneeeeeeennnneee 12311()()()()1nnnnnnnnne 对一切大于 2 的正整数 n 都成立.